▷ Conditions d'équilibre

Cet article explique en quoi consistent les conditions d'équilibre. Vous trouverez des exemples réels des deux conditions d'équilibre et, en plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Quelles sont les conditions d’équilibre ?

En physique, les conditions d'équilibre établissent qu'un corps est en équilibre si la somme des forces et la somme des moments qui lui sont appliqués sont égales à zéro.

Il existe donc deux conditions d’équilibre : la première condition dit que la force résultante doit être nulle, et la seconde condition dit que le moment résultant doit être nul.

Gardez à l’esprit que pour qu’un système soit considéré en équilibre, les deux équations doivent être remplies, il ne suffit pas qu’une seule condition soit remplie.

Première condition d'équilibre

La première condition d'équilibre dit que la somme des forces appliquées à un corps doit être égale à zéro pour que ledit corps soit en équilibre de translation.

Logiquement, la somme des forces doit être nulle pour les trois axes, si elle n'est remplie dans aucun axe alors le corps n'est pas en équilibre.

$\displaystyle \sum\vv{F_x}=0\qquad\sum\vv{F_y}=0\qquad\sum\vv{F_z}=0$

De plus, si la somme des forces est nulle, cela signifie que le corps n’a pas d’accélération linéaire. Ainsi, un corps en équilibre de translation peut être au repos (vitesse nulle) ou se déplacer à vitesse linéaire constante.

A partir de là, deux types d’équilibres translationnels peuvent être distingués :

Équilibre de translation statique : lorsque la première condition d'équilibre est remplie et que le corps est également au repos.
Equilibre translationnel dynamique : lorsque la première condition d'équilibre est remplie et que le corps a une vitesse constante (différente de zéro).

Deuxième condition d'équilibre

La deuxième condition d’équilibre est analogue à la première condition d’équilibre mais utilise des moments au lieu de forces.

La deuxième condition d’équilibre dit que si la somme des moments d’un corps est nulle, alors le corps est en équilibre de rotation.

De même, la somme des moments doit être nulle dans tous les axes du repère, sinon la deuxième condition d'équilibre n'est pas vérifiée.

$\displaystyle \sum\vv{M_x}=0\qquad\sum\vv{M_y}=0\qquad\sum\vv{M_z}=0$

N'oubliez pas que le moment (ou couple) d'une force en un point est calculé en multipliant la valeur de la force par la distance perpendiculaire de la force au point.

$M=F\cdot d$

De même, pour que la deuxième condition d’équilibre soit remplie, l’accélération angulaire du corps doit être nulle, ce qui signifie que dans cet état le corps ne tourne pas ou tourne à une vitesse angulaire constante.

Exemples de conditions d'équilibre

Après avoir vu les définitions des deux conditions d’équilibre, vous pourrez voir ci-dessous plusieurs exemples de la vie quotidienne pour bien comprendre le concept.

Par exemple, lorsqu’un corps est suspendu au plafond, le corps est en équilibre puisque le système est totalement au repos. On peut également dire que le système est en équilibre statique.

Un autre exemple de conditions d’équilibre dans la vie quotidienne est la balance. Lorsque le bras de la balance se stabilise et arrête de tourner, le système est au repos et donc également en équilibre.

Problèmes résolus de conditions d’équilibre

Exercice 1

Étant donné un corps rigide d'une masse de 12 kg suspendu par deux cordes dont les angles sont indiqués dans la figure suivante, calculez la force que chaque corde doit exercer pour maintenir le corps en équilibre.

problème de la première condition d'équilibre

Voir la solution

La première chose que nous devons faire pour résoudre ce type de problème est de dessiner le diagramme du corps libre de la figure :

Exercice résolu de la première condition d’équilibre

Notez qu'il n'y a en réalité que trois forces agissant sur le corps suspendu, la force du poids P et les tensions des cordes T ₁ et T ₂ . Les forces représentées T _1x , T _1y , T _2x et T _2y sont les composantes vectorielles de T ₁ et T ₂ respectivement.

Ainsi, puisque l'on connaît les angles d'inclinaison des cordes, on peut trouver les expressions des composantes vectorielles des forces de tension :

$T_{1x}=T_1\cdot \text{cos}(20º)$

$T_{1y}=T_1\cdot \text{sin}(20º)$

$T_{2x}=T_2\cdot \text{cos}(55º)$

$T_{2y}=T_2\cdot \text{sin}(55º)$

D'autre part, on peut calculer la force du poids en appliquant la formule de la force gravitationnelle :

$P=m\cdot g=12\cdot 9,81 =117,72 \N$

L’énoncé du problème nous dit que le corps est en équilibre, donc la somme des forces verticales et la somme des forces horizontales doivent être égales à zéro. Nous pouvons donc établir les équations de force et les mettre égales à zéro :

$-T_{1x}+T_{2x}=0$

$T_{1y}+T_{2y}-P=0$

On substitue maintenant les composantes des contraintes par leurs expressions trouvées précédemment :

$-T_1\cdot\text{cos}(20º)+T_2\cdot \text{cos}(55º)=0$

$T_1\cdot \text{sin}(20º)+T_2\cdot \text{sin}(55º)-117.72=0$

Et, enfin, on résout le système d'équations pour obtenir la valeur des forces T ₁ et T ₂ :

$\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117 .72=0\end{array }\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3> Calculer le moment que doit faire le support de la poutre suivante pour qu'elle soit en équilibre de rotation : <div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png" alt="Exercice résolu de la deuxième condition d'équilibre" class="wp-image-397" width="237" height="203" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre-300x257.png 300w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png 643w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px"></figure></div><div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> Pour que la poutre soit en équilibre de rotation et que la deuxième condition d'équilibre soit donc remplie, le support doit contrecarrer le moment de torsion généré par la force, donc la somme des moments sera nulle. On calcule donc le moment (ou couple) généré par la force au niveau de l'appui : [latex]M_{force}=13\cdot 9 = 117 \ Nm$

Et maintenant, nous énonçons l’équation d’équilibre des moments :

$M_{support}+M_{force}=0$

Le moment qui génère la force passe à l’intérieur de l’écran, donc son signe est négatif :

$M_{support}-117=0$

Et enfin, nous résolvons l’inconnue de l’équation :

$M_{support}=117\Nm$

Le moment obtenu est de signe positif, son sens est donc hors de l'écran.

Exercice 3

Comme le montre la figure suivante, deux objets sont reliés par une corde et une poulie de masses négligeables. Si l'objet 2 a une masse de 7 kg et que l'inclinaison de la rampe est de 50º, calculez la masse de l'objet 1 pour que l'ensemble du système soit dans des conditions d'équilibre. Dans ce cas, la force de frottement peut être négligée.

Voir la solution

Le corps 1 est sur une pente inclinée, donc la première chose à faire est de vectoriser la force de son poids pour avoir les forces sur les axes de la pente :

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

L’ensemble des forces agissant sur l’ensemble du système est donc :

Exercice résolu d’équilibre translationnel

L’énoncé du problème nous dit que le système de forces est en équilibre, donc les deux corps doivent être en équilibre. A partir de ces informations, nous pouvons formuler les équations d’équilibre des deux corps :

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sen}(\alpha)=P_2$

Maintenant, nous appliquons la formule de la force gravitationnelle et simplifions l'équation :

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

Enfin, nous substituons les données et résolvons la masse du corps 1 :

$m_1 \cdot \text{sin}(50º) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50º)}$

$m_1=9,14\kg$

Exercice 4

Comme vous pouvez le voir sur la figure suivante, une barre horizontale de 10 m supporte un corps dont la masse est de 8 kg. Connaissant les distances entre les supports et le corps suspendu, quelle est la valeur des forces exercées par les supports si le système est en équilibre de rotation et de translation ?

Voir la solution

Tout d’abord, nous utilisons la formule de la force gravitationnelle pour calculer le poids que la barre horizontale doit supporter :

$P=m\cdot g=8\cdot 9,81 =78,48 \ N$

Le diagramme du corps libre du système est donc :

L’énoncé du problème nous dit que le système est en équilibre de forces, donc la somme de toutes ces forces doit être nulle. En utilisant cette condition d’équilibre, nous pouvons formuler l’équation suivante :

$F_A+F_B-P=0$

D’un autre côté, l’énoncé nous dit également que le système est en équilibre de moment. Donc si l’on considère la somme des moments en n’importe quel point du système le résultat doit être nul, et si l’on prend le point de référence de l’un des deux supports on aura une équation à une seule inconnue :

$M(A)=0$

$-P\cdot 6.5+F_B\cdot (6.5+3.5)=0$

On peut maintenant calculer la force exercée par le support B en résolvant l'inconnue de l'équation :

$-78.48\cdot 6.5+F_B\cdot 10=0$

$F_B=\cfrac{78.48\cdot 6.5}{10}$

$F_B=51.01\N$

Et enfin, nous pouvons connaître l'intensité de la force appliquée à l'autre support en substituant la valeur obtenue dans l'équation des forces verticales :

$F_A+F_B-P=0$

$F_A+51,01-78,48=0$

$F_A=27,47\N$

Conditions d’équilibre

Quelles sont les conditions d’équilibre ?

Première condition d'équilibre

Deuxième condition d'équilibre

Exemples de conditions d'équilibre

Problèmes résolus de conditions d’équilibre

Exercice 1

Exercice 3

Exercice 4

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