▷ Comment calculer les composantes d'une force (exemples)

Cet article explique quelles sont les composantes d'une force et comment elles sont calculées. De plus, vous pourrez voir des exemples résolus de calcul de composantes de force.

Quelles sont les composantes d’une force ?

Les composantes d'une force sont les projections d'une force sur les axes de référence. Si nous travaillons dans le système de coordonnées cartésiennes, une force a deux composantes : la composante le long de l’axe X et la composante le long de l’axe Y.

Normalement, les forces sont appliquées sur le système de coordonnées cartésiennes, de sorte que les deux composantes d'une force dans le plan sont généralement appelées composante horizontale et composante verticale de la force.

Gardez à l'esprit que les vecteurs unitaires $\vv{i}$ et $\vv{j}$ sont parfois utilisés pour exprimer les composantes rectangulaires d'une force d'une autre manière :

$\vv{F}=\vv{F_x}+\vv{F_y}=F_x\cdot \vv{i}+F_y\cdot \vv{j}$

Comment calculer les composantes d'une force

Les composantes rectangulaires d'une force sont calculées à l'aide des rapports trigonométriques du sinus et du cosinus.

La composante horizontale d’une force est égale à l’amplitude de la force multipliée par le cosinus de l’angle d’inclinaison de la force.
La composante verticale d’une force est égale à l’amplitude de la force multipliée par le sinus de l’angle d’inclinaison de la force.

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Toute force vectorielle forme un triangle rectangle avec ses composantes vectorielles. Nous pouvons donc relier le module aux composantes en appliquant des rapports trigonométriques.

Le cosinus d'un angle est égal à la branche continue divisée par l'hypoténuse du triangle rectangle, dans notre cas l'hypoténuse est le module de la force et la composante horizontale est le côté continu :

$\text{cos}(\alpha)=\cfrac{F_x}{F}$

Ainsi, à partir de la relation mathématique précédente, nous pouvons résoudre la composante X de la force :

$F_x=F\cdot \text{cos}(\alpha)$

En revanche, on peut appliquer le même raisonnement pour obtenir la formule de la composante Y de la force mais en utilisant le sinus.

Le sinus d'un angle est égal à la branche opposée divisée par l'hypoténuse du triangle rectangle, dans notre cas l'hypoténuse est le module de la force et la composante verticale est le côté opposé à l'angle :

$\text{sin}(\alpha)=\cfrac{F_y}{F}$

Et enfin, nous résolvons la composante Y de la force :

$F_y=F\cdot \text{sin}(\alpha)$

Le processus de détermination des composantes vectorielles d'une force est appelé décomposition vectorielle d'une force .

Gardez à l’esprit que si l’angle que l’on connaît n’est pas celui que forme la force avec l’axe horizontal, les formules changeront. Par exemple, si nous connaissons seulement l’angle que fait la force avec l’axe vertical, alors nous devons utiliser le cosinus pour la composante verticale et le sinus pour la composante horizontale.

Exemples de composantes de force

Maintenant que nous connaissons la définition, nous allons voir deux exercices résolus sur la façon de trouver les composantes d’une force.

Exemple 1

Quelles sont les composantes cartésiennes d’une force de 8 N inclinée de 35º par rapport à l’axe horizontal ?

exemple résolu de décomposition vectorielle d'un forcez

Pour vectoriser la force il faut simplement utiliser les formules sinus et cosinus vues ci-dessus.

La composante horizontale est la valeur de la force multipliée par le cosinus de l'angle :

$F_{x}=F\cdot \text{cos}(\alpha)$

$F_{x}=8\cdot \text{cos}(35º)=6,55 \ N$

Et la composante verticale est l'intensité de la force multipliée par le sinus de l'angle :

$F_{y}=F\cdot \text{sin}(\alpha)$

$F_{y}=8\cdot \text{sin}(35º)=4.59 \ N$

Exemple 2

Trouvez les composantes vectorielles de la force gravitationnelle du poids agissant sur le corps de 5 kg suivant sur les axes 1-2 représentés.

exercice résolu des composantes d'une force

Tout d’abord, nous devons trouver la valeur de la force du poids, nous utilisons donc la formule correspondante :

$P=m\cdot g= 5\cdot 9,81=49,05 \ N$

Et maintenant que nous savons quelle est la force, nous pouvons déterminer ses composantes rectangulaires. L'angle entre la composante P ₂ et la force P est équivalent à l'angle de la pente, nous pouvons donc utiliser les formules des composantes avec cet angle :

$P_{1}=P\cdot \text{sin}(25º)=49,05\cdot \text{sin}(25º)=20,73 \ N$

$P_{2}=-P\cdot \text{cos}(25º)=-49.05\cdot \text{cos}(25º)=-44.45 \ N$

La composante P ₂ est négative car sa direction est opposée à la direction de l'axe.

Composition d'une force

Si vous êtes arrivé jusqu’ici, cela signifie que vous savez déjà comment calculer les composantes d’une force. Eh bien, nous allons maintenant voir le processus inverse, c'est-à-dire comment déterminer le module d'une force à partir de ses composantes rectangulaires.

Pour trouver l' amplitude d'une force (ou module d'une force), il faut calculer la racine carrée de la somme des carrés des composantes de cette force.

$\begin{vmatrix}\vv{F}\end{vmatrix}=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$

➤ Voir : quelle est la grandeur d'une force ?

Ce processus s'appelle la composition d'une force .

Par exemple, si la composante horizontale d’une force est de 6 N et sa composante verticale est de 8 N, l’amplitude de la force sera :

$\begin{aligned}\begin{vmatrix}\vv{F}\end{vmatrix} & =\sqrt{F_x^2+F_y^2}\\[2ex]& =\sqrt{6^2+ 8^2}\\[2ex] & = \sqrt{100} \\[2ex] & = 10 \ N \end{aligned}$

Il est important de garder à l’esprit que cette formule ne peut être utilisée que si les deux forces forment un angle de 90º. Sinon, pour trouver la force résultant de l'union de deux forces avec un angle différent, d'autres méthodes doivent être appliquées (selon les cas), vous pouvez voir comment cela se fait sur notre site internet.

Composantes d’une force