▷ Ondes stationnaires

Cet article explique ce que sont les ondes stationnaires en physique. Vous trouverez donc l’équation des ondes stationnaires, quelles sont les caractéristiques des ondes stationnaires et, par ailleurs, quels sont les différents types d’ondes stationnaires.

Qu'est-ce qu'une onde stationnaire ?

Une onde stationnaire est une perturbation oscillatoire dont les pointes oscillent verticalement mais n'avancent pas longitudinalement. Les ondes stationnaires sont le résultat d’une interférence entre deux ou plusieurs ondes, qui consiste en la superposition d’ondes ayant les mêmes caractéristiques mais avançant dans des directions opposées.

Dans la plupart des cas, les ondes stationnaires sont dues au phénomène physique de résonance, de sorte qu'une interférence entre ondes se produit entre une onde et son onde réfléchie dans un milieu résonateur.

Par exemple, lorsque nous attachons une corde élastique à un mur à une extrémité et faisons vibrer la corde, une onde stationnaire est produite. La corde oscille et les vibrations se reflètent à l'extrémité fixe de la corde, par conséquent les deux ondes se superposent et une onde stationnaire se forme.

Le graphique ci-dessus représente une onde stationnaire (onde rouge) ainsi que les vagues qui se chevauchent pour former l’onde stationnaire (ondes verte et bleue). Comme vous pouvez le constater, l’onde verte se déplace vers la droite, l’onde bleue se déplace vers la gauche et, à l’inverse, l’onde stationnaire ne se déplace pas horizontalement mais vibre uniquement verticalement.

Les ondes stationnaires ont été décrites pour la première fois en 1831 par le physicien anglais Michael Faraday. Cependant, le nom « onde stationnaire » a été créé en 1860 par le physicien allemand Franz Melde.

Équation d'une onde stationnaire

L'équation d'un stationnaire est deux fois l'amplitude des ondes d'origine multipliées par le produit du sinus du nombre d'onde multiplié par l'allongement et le cosinus de la fréquence angulaire multiplié par le temps. Ainsi, l'équation d'une onde stationnaire est y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .

$y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)$

Où:

$y$ est l'allongement du point étudié de l'onde stationnaire.
$A$ est l'amplitude des ondes originales.
$k$ est le numéro d'onde.
$x$ est la position du point étudié de l'onde stationnaire.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$t$ est l'instant du temps.

Remarque : Il existe plusieurs façons d'exprimer l'équation des ondes stationnaires, donc selon le livre, vous pouvez trouver une équation légèrement différente. Cependant, en physique, l’équation des ondes stationnaires la plus utilisée est celle présentée dans cet article.

Notez que le nombre d'onde et la fréquence angulaire d'une onde stationnaire sont calculés à l'aide des formules suivantes :

$\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}$

Où:

$k$ est le numéro d'onde.
$\lambda$ est la longueur d'onde, c'est-à-dire la distance entre deux points équivalents de l'onde stationnaire.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$T$ est la période définie comme le temps qui s'écoule entre le moment où l'onde passe par un point et celui où elle traverse à nouveau un point équivalent.
$f$ est la fréquence, qui est le nombre d'oscillations de l'onde par unité de temps.

Voir la démonstration de l'équation d'une onde stationnaire

Étant donné deux ondes de propagation définies par les équations suivantes :

$\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

L'onde stationnaire est la somme des deux ondes oscillatoires, donc l'équation de l'onde stationnaire sera la somme des deux équations précédentes :

$\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

Nous appliquerons ensuite les formules trigonométriques suivantes :

$\displaystyle\text{sin}(A)+\text{sin}(B)=2\cdot \text{sin}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\ texte{cos}\left(\frac{AB}{2}\right)$

$\text{cos}(-A)=\text{cos}(A)$

Ainsi, en appliquant les formules trigonométriques précédentes on arrive à l’équation des ondes stationnaires :

$\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}$

Nœuds et ventres d'une onde stationnaire

Toute onde stationnaire est constituée de nœuds et de ventres, définis comme suit :

Nœuds : sont les points de l'onde stationnaire dont l'allongement est minimum (y=0). Ces points sont complètement stationnaires, car ils ne se déplacent ni horizontalement ni verticalement.
Ventres (ou ventres) : ce sont les points de l'onde stationnaire dont l'allongement est maximum (y=2A ou y =-2A). Ces points oscillent verticalement de l'allongement y=2A à y=-2A.

Nœuds et ventres d'une onde stationnaire

Ondes stationnaires avec les deux extrémités fixes

Lorsque des ondes stationnaires sont générées avec les deux extrémités fixes, cela signifie que les deux extrémités de l’onde sont des nœuds. Ce type d'ondes stationnaires s'effectue dans des tubes fermés des deux côtés ou par des cordes vibrantes fixées aux extrémités.

Par exemple, lorsque nous faisons vibrer les cordes d’une guitare, nous générons des ondes stationnaires dont les deux extrémités sont fixes.

Dans ce cas, la longueur d'onde et la fréquence de l'onde stationnaire sont définies par les formules suivantes :

$\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}$

Où:

$\lambda$ est la longueur d'onde.
$L$ est la longueur de la chaîne.
$n$ est le nombre harmonique (n=1, 2, 3, 4…).
$f$ est la fréquence naturelle ou harmonique.
$v$ est la vitesse de propagation des ondes.

harmoniques des ondes stationnaires avec les deux extrémités fixes.png

Comme vous pouvez le voir sur l'image ci-dessus, le nombre de ventres et le nombre de nœuds dépendent du nombre harmonique. Le nombre de ventres d’une onde stationnaire dont les deux extrémités sont fixes est équivalent au nombre harmonique, tandis que le nombre de nœuds est le nombre harmonique plus un.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n+1$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

Ondes stationnaires avec les deux extrémités libres

Enfin, les ondes stationnaires peuvent également avoir les deux extrémités libres , de sorte que les deux extrémités de l'onde stationnaire soient des ventres.

Ces types d’ondes stationnaires sont générés dans de nombreux instruments à vent, car leurs deux extrémités sont ouvertes.

La longueur d'onde et la fréquence d'une onde stationnaire dont les deux extrémités sont ouvertes sont calculées à l'aide des formules suivantes :

$\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}$

Où:

$\lambda$ est la longueur d'onde.
$L$ est la longueur de la chaîne.
$n$ est le nombre harmonique (n=1, 2, 3, 4…).
$f$ est la fréquence naturelle ou harmonique.
$v$ est la vitesse de propagation de l'onde.

ondes stationnaires avec les deux extrémités libres

Si vous regardez l’image ci-dessus, ces types d’ondes stationnaires ont autant de nœuds que le nombre harmonique. En revanche, le nombre de ventres de cette classe d’ondes stationnaires est le nombre harmonique plus un.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n+1$

Ondes stationnaires avec une extrémité fixe et une extrémité libre

Lorsque la vague se propage dans un milieu dans lequel une extrémité est fixe et l’autre extrémité est libre , cela implique qu’une extrémité de la vague sera un nœud et l’autre extrémité de la vague sera un ventre.

Ces types d'ondes stationnaires se produisent dans de nombreux instruments de musique, par exemple, les ondes générées dans une trompette, une flûte ou une clarinette ont une extrémité fixe, à travers laquelle le musicien souffle, et une autre extrémité libre, à travers laquelle le musicien souffle. L'instrument.

Dans ce cas, la longueur et la fréquence de l'onde stationnaire peuvent être calculées par les formules suivantes :

$\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}$

Où:

$\lambda$ est la longueur d'onde.
$L$ est la longueur de la chaîne.
$n$ est le paramètre qui détermine le numéro harmonique (n=1, 2, 3, 4…).
$f$ est la fréquence naturelle ou harmonique.
$v$ est la vitesse de propagation de l'onde.

Remarque : gardez à l'esprit que dans ce cas, seules des harmoniques impaires existent (1, 3, 5, 7…), car dans ce type d'ondes stationnaires, il est uniquement possible de générer des fréquences multiples impaires de la fréquence fondamentale.

ondes stationnaires avec une extrémité fixe et une extrémité libre

Dans ce cas, l’onde stationnaire possède le même nombre de nœuds que de ventres. Concrètement, l'onde stationnaire possède autant de nœuds et autant de ventres que la valeur du paramètre n de l'harmonique :