▷ Mouvement Harmonique Simple (MAS)

Cet article explique ce qu'est le mouvement harmonique simple (SHM) en physique. Ainsi, vous trouverez quelles sont les caractéristiques du mouvement harmonique simple, des exemples de ce type de mouvement et, en plus, quelles sont toutes les formules du mouvement harmonique simple.

Qu'est-ce que le mouvement harmonique simple (SHA) ?

Le mouvement harmonique simple (SHA) , également appelé mouvement vibratoire harmonique simple (MVAS) , est un mouvement périodique dans lequel un corps en mouvement effectue un trajet oscillatoire. Autrement dit, dans un simple mouvement harmonique, le corps oscille de manière répétitive d’un côté à l’autre de sa position d’équilibre.

Ainsi, le corps qui décrit un mouvement harmonique simple s'éloigne et se rapproche de manière répétitive de sa position centrale, qui est sa position d'équilibre. De plus, dans ce type de mouvement, le frottement est négligé, donc le temps qu'il faut pour passer deux fois par la même position est toujours le même et, par conséquent, il s'agit d'un mouvement périodique.

Par exemple, un objet suspendu à un ressort fixé au plafond est dans un mouvement harmonique simple (négligez le frottement de l'air) lorsqu'il descend en raison de la gravité puis remonte en raison de la force élastique du ressort, il effectue donc un mouvement oscillatoire autour. sa position d'équilibre.

exemple de mouvement harmonique simple (MAS)

Exemples de mouvements harmoniques simples

Une fois que nous aurons vu la définition du mouvement harmonique simple (MAS), nous allons voir plusieurs exemples de ce type de mouvement pour mieux comprendre le concept :

Exemples de mouvements harmoniques simples (MAS) :

Le mouvement d'un corps suspendu à un ressort.
Le mouvement oscillatoire d'un pendule.
Le mouvement répétitif d'un mécanisme d'horloge.
Le mouvement vibratoire d'un battement de coeur.

Gardez à l’esprit que pour que tous ces mouvements oscillent indéfiniment dans le temps, il faut qu’il n’y ait aucun type de frottement. En réalité, ces mouvements finissent par s'arrêter à cause du frottement avec l'air ou avec un matériau, cependant, en physique dans ces cas on néglige le frottement et c'est pourquoi on considère qu'ils oscillent indéfiniment.

Caractéristiques du mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple est formé des éléments suivants qui le caractérisent :

Allongement (x) : est la position du corps qui effectue le mouvement harmonique simple à un certain instant. Il représente la séparation du corps de sa position d'équilibre.
Amplitude (A) : est l'allongement maximum du mouvement harmonique simple. C’est donc la différence entre la position maximale et la position d’équilibre.
Période (T) : est le temps nécessaire au corps pour effectuer une oscillation complète.
Fréquence (f) : est le nombre d'oscillations ou de vibrations que le corps effectue par unité de temps.
Phase (φ) : est l'angle qui représente l'état d'oscillation du corps à un instant donné.
Phase initiale (φ ₀ ) : est l'angle qui représente l'état d'oscillation initial du corps.
Fréquence angulaire ou pulsation (ω) : c'est la vitesse à laquelle le corps effectue les oscillations. C'est-à-dire qu'il indique la vitesse du changement de phase du mouvement harmonique simple.

graphique du mouvement harmonique simple (SHM)

Formules simples de mouvement harmonique

Vous trouverez ci-dessous les formules ou équations du mouvement harmonique simple. Ces formules vous permettront de résoudre des problèmes simples de mouvement harmonique.

Position

La position d'une particule qui décrit un mouvement harmonique simple est définie comme l'amplitude du mouvement multipliée par le cosinus de la fréquence angulaire multiplié par le temps plus la phase initiale du mouvement. Par conséquent, la formule pour la position d’un mouvement harmonique simple est la suivante :

$x(t)=A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

Où:

$x$ est l'allongement du corps qui effectue le mouvement harmonique simple.
$A$ est l'amplitude du mouvement harmonique simple.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$t$ est l'instant auquel la position est calculée.
$\phi_0$ est la phase initiale du mouvement harmonique simple.

Vitesse

La vitesse instantanée d'un corps est égale à la dérivée de sa position instantanée par rapport au temps. Par conséquent, la formule pour la vitesse du mouvement harmonique simple est la suivante :

$v(t)=\cfrac{dx(t)}{dt}=-\omega\cdot A\cdot \text{sin}(\omega t+\phi_0)$

Où:

$v$ est la vitesse instantanée du corps effectuant un mouvement harmonique simple.
$x$ est la position instantanée du corps qui effectue le mouvement harmonique simple.
$A$ est l'amplitude du mouvement harmonique simple.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$t$ est l'instant auquel la position est calculée.
$\phi_0$ est la phase initiale du mouvement harmonique simple.

Il convient de noter que l’amplitude de la vitesse d’un corps qui effectue un simple mouvement harmonique est maximale juste au moment où il passe par sa position d’équilibre. En revanche, la vitesse du corps est nulle lorsqu'il se trouve à l'une des extrémités des oscillations, soit à l'allongement maximum, soit à l'allongement minimum.

Accélération

L'accélération instantanée d'un corps est calculée en dérivant l'équation de sa vitesse instantanée par rapport au temps. Par conséquent, la formule pour l’accélération d’un mouvement harmonique simple est la suivante :

$a(t)=\cfrac{dv(t)}{dt}=-\omega^2\cdot A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

Où:

$a$ est l'accélération instantanée du corps qui produit un simple mouvement harmonique.
$v$ est la vitesse instantanée du corps effectuant un mouvement harmonique simple.
$A$ est l'amplitude du mouvement harmonique simple.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$t$ est l'instant auquel la position est calculée.
$\phi_0$ est la phase initiale du mouvement harmonique simple.

Gardez à l’esprit que l’amplitude de l’accélération est maximale lorsque le corps qui décrit le mouvement harmonique simple est dans la position maximale ou minimale, c’est-à-dire lorsque l’allongement est maximum ou minimum. Or, l’accélération du corps est nulle lorsqu’il est dans sa position d’équilibre.

période et fréquence

La période est le temps qu'il faut au corps pour effectuer une oscillation complète, c'est-à-dire le temps qui s'écoule entre le moment où il passe par une position et celui où il repasse par cette même position. Ainsi, la période est égale à deux pi divisés par la pulsation du mouvement harmonique simple.

$T=\cfrac{2\pi}{\omega}$

La fréquence est le nombre d’oscillations effectuées par le corps par unité de temps. La fréquence d’un mouvement harmonique simple est obtenue en divisant sa pulsation par deux fois le nombre pi.

$f=\cfrac{\omega}{2\pi}$

La période et la fréquence sont donc des inverses multiplicatifs, ce qui signifie que l'une de ces quantités peut être calculée si l'autre est connue à l'aide de la formule suivante :

$T=\cfrac{1}{f}$

Où:

$T$ est le point.
$f$ est la fréquence.
$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.

Fréquence angulaire ou de pulsation

La fréquence angulaire , également appelée pulsation , est la vitesse à laquelle le corps oscille dans un simple mouvement harmonique. La formule pour calculer la fréquence angulaire est la suivante :

$\displaystyle \omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Où:

$\omega$ est la fréquence angulaire ou de pulsation.
$T$ est le point.
$f$ est la fréquence.
$k$ est la constante du ressort oscillant.
$m$ est la masse du corps qui effectue un mouvement harmonique simple.

force élastique

La force élastique , également appelée force de rappel , est la force qu'un matériau élastique exerce lorsqu'il se déforme et, par conséquent, c'est la force qui provoque les oscillations d'un mouvement harmonique simple. Par exemple, lorsqu’un ressort est étiré ou comprimé, il exerce une force élastique pour tenter de revenir à sa position initiale.

La formule de la force élastique est la suivante :

$F_e=-k\cdot \Delta x$

Où:

$F$ est la force élastique, exprimée en newtons.
$k$ est la constante d'élasticité du ressort, dont les unités sont N/m.
$\Delta x$ est l'allongement subi par le ressort, exprimé en mètres.

Remarque : le signe négatif sert simplement à indiquer que le sens de la force élastique est contraire à l'allongement du ressort. L’important est que l’amplitude de la force élastique soit équivalente à la constante élastique multipliée par le déplacement.

force élastique de mouvement harmonique simple (SHA)

De la formule de force élastique, on peut facilement déduire que le module de force élastique est maximum lorsque le ressort est en allongement maximum (en position maximum ou en position minimum). De même, la force élastique est nulle lorsque le corps est en position d’équilibre.

énergie cinétique et énergie potentielle

L'énergie cinétique est l'énergie dont dispose un corps en raison de sa vitesse et, d'autre part, l'énergie potentielle est l'énergie accumulée à l'intérieur d'un corps déformable (normalement un ressort) en raison du travail effectué par la force élastique. Ainsi, les formules pour calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle dans un mouvement harmonique simple sont les suivantes :

$\begin{array}{c}E_c=\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\\[4ex]E_p=\cfrac{1}{2}\cdot k\cdot x ^2\end{tableau}$

De même, l’énergie mécanique est équivalente à la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

$E_m=E_c+E_p$

Où:

$E_c$ est l'énergie cinétique.
$E_p$ est l'énergie potentielle.
$m$ est la masse du corps qui effectue un mouvement harmonique simple.
$v$ est la vitesse du corps effectuant le mouvement harmonique simple.
$k$ est la constante d'élasticité du ressort, dont les unités sont N/m.
$x$ est l'allongement du corps qui décrit un mouvement harmonique simple.
$E_m$ est l'énergie mécanique.

De plus, si l'on ne tient pas compte du frottement, l'énergie du ressort n'est pas perdue mais transformée (principe de conservation de l'énergie mécanique). Ainsi, l’énergie potentielle élastique peut être convertie en énergie cinétique et vice versa, mais l’énergie totale ne sera pas réduite.

$E_{p_i}+E_{c_i}=E_{p_f}+E_{c_f}$

Ainsi, lorsque l’énergie potentielle élastique est maximale, c’est-à-dire lorsque le ressort est complètement étiré ou comprimé, l’énergie cinétique sera nulle. De même, lorsque l’énergie cinétique est maximale, c’est-à-dire lorsque le ressort est en position d’équilibre, l’énergie potentielle élastique sera nulle.

énergie potentielle élastique et énergie cinétique

Résumé des formules du mouvement harmonique simple

Enfin, en guise de résumé, nous vous laissons un tableau avec toutes les formules du mouvement harmonique simple (MAS) :

Mouvement harmonique simple (shm)