▷ Mouvement elliptique

Cet article explique ce qu'est un mouvement elliptique en physique. De même, vous trouverez des exemples de mouvements elliptiques, les formules d'un mouvement elliptique et, en plus, un exercice résolu étape par étape.

Qu'est-ce que le mouvement elliptique ?

Le mouvement elliptique est ce mouvement dont le corps en mouvement décrit une trajectoire elliptique. Autrement dit, le corps qui suit un mouvement elliptique a une trajectoire en forme d’ellipse.

L'ellipse est une figure géométrique curviligne qui a un axe plus grand que l'autre, autrement dit, une ellipse est comme un cercle aplati.

Par conséquent, la principale caractéristique du mouvement elliptique est que la trajectoire du corps en mouvement est elliptique. Par conséquent, la vitesse n’est pas constante tout au long de la trajectoire, mais généralement les mouvements elliptiques ont des points où le corps se déplace plus rapidement qu’à d’autres points.

Par exemple, l’orbite d’une planète autour du Soleil est elliptique, donc la trajectoire de la Terre autour du Soleil est un exemple de mouvement elliptique.

Exemples de mouvements elliptiques

Une fois que nous aurons vu la définition du mouvement elliptique, nous allons voir plusieurs exemples de la vie quotidienne de ce type de mouvement pour mieux comprendre le concept.

Translation orbitale : les trajectoires décrites par les planètes, astéroïdes, satellites, etc. Ils sont elliptiques, on peut donc trouver de nombreux exemples de mouvements elliptiques dans l’espace.
Le lancer parabolique : le lancer parabolique est un autre exemple de mouvement elliptique, puisque lorsqu'un objet est lancé et décrit une trajectoire parabolique, en général, le rayon de courbure n'est pas constant mais varie, ce n'est donc pas une trajectoire circulaire mais plutôt elliptique chemin.
Le hula hoop (ou hula hoop) : bien que le cerceau utilisé pour jouer soit circulaire, le mouvement décrit par la partie du corps qui tourne est elliptique.
Le vélo elliptique : Les vélos elliptiques sont des machines qui sont utilisées en salle de sport pour faire de l'exercice physique. Ainsi, le mouvement effectué par les pédales de ce type de vélo est elliptique.
La trajectoire d'un boomerang : lors du lancement d'un boomerang, la forme de la trajectoire que décrit cet objet est une ellipse. La trajectoire d’un boomerang est donc un autre exemple de mouvement elliptique.

Formule pour le mouvement elliptique

De manière générale, les coordonnées cartésiennes d'un corps décrivant un mouvement elliptique peuvent être formulées par deux équations paramétriques. Ainsi, la coordonnée X et la coordonnée Y d'un mouvement elliptique sont généralement définies respectivement en termes de cosinus et de sinus de la position angulaire.

$\begin{cases}x=a\cdot \text{cos}(\theta )\\[2ex]y=b\cdot \text{sin}(\theta )\end{cases}$

La position du corps effectuant un mouvement elliptique peut également être décrite par le vecteur position :

$\vv{r}=a\cdot \text{cos}(\theta )\vv{i}+b\cdot \text{sin}(\theta )\vv{j}$

De même, à partir du vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération peuvent être calculés en différenciant par rapport au temps :

$\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

En général, la formule de la position d'un corps effectuant un mouvement elliptique est définie par le sinus et le cosinus. Cependant, selon le domaine d'application, il existe également des formules spécifiques, par exemple, il existe une équation spécifique pour décrire le mouvement elliptique d'une planète.

Exercice résolu pour le mouvement elliptique

La position d'un corps en mouvement qui décrit un mouvement elliptique est définie par l'équation $\vv{r}(t)=0.3\text{cos}(10t)\vv{i}+0.2\text {sin}( 10t)\vv{j} \ m$ . Quelle est l'accélération tangentielle du mobile à l'instant t=π/40 s ?

Le vecteur position qui décrit le mouvement elliptique du problème est :

$\vv{r}(t)=0,3\text{cos}(10t)\vv{i}+0,2\text{sin}(10t)\vv{j} \ m[/latex ] Ainsi, pour trouver le vecteur vitesse, nous devons dériver le vecteur position par rapport au temps : [latex]\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{v}(t)=-3\text{sin}(10t)\vv{i}+2\text{cos}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s }$

Ensuite, nous déduisons à nouveau l'équation obtenue par rapport au temps pour obtenir le vecteur accélération :

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

$\vv{a}(t)=-30\text{cos}(10t)\vv{i}-20\text{sin}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s ^2}$

Enfin, pour déterminer l'accélération à l'instant t=π/40 s il suffit de remplacer le paramètre t par sa valeur et de faire les calculs :

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right )\vv{i}-20\text{sin}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv {i}-20\text{sin}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-21.21\vv{i}-14.14\vv{j}$