▷ Vecteur de déplacement

Cet article explique ce qu'est le vecteur déplacement en physique. Ainsi, vous trouverez comment calculer le vecteur déplacement et, en plus, un exercice résolu pour bien assimiler la notion.

Quel est le vecteur déplacement ?

Le vecteur déplacement est défini comme le vecteur qui va de la position initiale à la position finale, c'est-à-dire que le vecteur déplacement est le vecteur qui représente la variation de la position d'un corps. Le vecteur déplacement est calculé en soustrayant le vecteur position finale moins le vecteur position initiale.

Le point d'application du vecteur déplacement est le point qui définit la position initiale du corps, tandis que la fin du vecteur déplacement est le point qui indique la position finale du corps. Ainsi, en physique, le vecteur déplacement est le vecteur qui marque la différence entre la position initiale et la position finale d'un corps.

Le symbole du vecteur de déplacement est $\Delta \vv{r}$ .

Notez que le déplacement est différent de la trajectoire. La trajectoire est l'ensemble du trajet parcouru par le corps mobile, tandis que le vecteur déplacement indique uniquement la variation entre la position initiale et la position finale.

Formule du vecteur de déplacement

Le vecteur déplacement est égal à la différence entre le vecteur position finale (r _f ) et le vecteur position initiale (r _i ). Par conséquent, le vecteur de déplacement est calculé en soustrayant le vecteur de position finale moins le vecteur de position initiale (Δr = r _f -r _i ).

La formule pour calculer le vecteur déplacement est donc la suivante :

$\Delta\vv{r}=\vv{r_f}-\vv{r_i}$

Gardez à l’esprit que si nous travaillons dans un système à deux coordonnées, chaque vecteur de position a deux composantes. Ainsi, pour calculer la soustraction de deux vecteurs, il faut soustraire leurs coordonnées :

$\begin{aligned}\Delta\vv{r}&=\vv{r_f}-\vv{r_i}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\left(x_f\vv{i }+y_f\vv{j}\right)-\left(x_i\vv{i}+y_i\vv{j}\right)\\[3ex]\Delta\vv{r}&=(x_f-x_i) \vv{i}+(y_f-y_i)\vv{j}\end{aligned}$

Où:

$\Delta \vv{r}$ est le vecteur déplacement.
$\vv{r_f}$ est le vecteur position à l'instant final.
$\vv{r_i}$ est le vecteur position à l'instant initial.
$x_f, y_f$ sont respectivement les coordonnées X, Y de la position finale.
$x_i, y_i$ sont respectivement les coordonnées X, Y de la position initiale.
$\vv{i},\vv{j}$ sont les vecteurs unitaires qui représentent respectivement les directions des axes OX et OY.

Remarque : si on travaille dans l'espace, les vecteurs auront trois coordonnées. Dans ce cas, la coordonnée Z des vecteurs doit être ajoutée à la formule et fonctionner avec trois coordonnées.

Module du vecteur déplacement

La grandeur du vecteur déplacement est la distance entre la position finale et la position initiale. Par conséquent, pour déterminer la distance entre deux points, il faut calculer le module de déplacement entre ces deux points.

La norme du vecteur déplacement est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Ainsi, la formule pour calculer le module du vecteur déplacement est la suivante :

$|\Delta \vv{r}|=\sqrt{(x_f-x_i)^2+(y_f-y_i)^2\vphantom{\bigl)}}$

Où:

$|\Delta \vv{r}|$ est la norme du vecteur déplacement.
$x_f, y_f$ sont respectivement les coordonnées X, Y de la position finale.
$x_i, y_i$ sont respectivement les coordonnées X, Y de la position initiale.

Gardez à l’esprit que la distance entre deux points, qui est la grandeur du vecteur déplacement entre ces points, n’est pas la même que la distance parcourue, puisque la distance parcourue peut être supérieure à la distance réelle entre les deux points.

➤ Voir : Quelle est la différence entre le déplacement et la distance parcourue ?

Exemple de calcul du vecteur déplacement

Une fois que nous aurons vu la définition du vecteur déplacement et quelle est sa formule, dans cette section nous verrons comment le vecteur déplacement est calculé avec un exemple résolu étape par étape.

Une particule est dans la position $\vv{r_i}=3\vv{i}-2\vv{j}$ à l'instant initial et après un intervalle de temps elle est dans la position [ latex]\ vv{r_f}=5\vv{i}+1\vv{j}[/latex]. Quel est le vecteur déplacement et la distance entre ces deux positions ?

Pour déterminer le vecteur déplacement entre la position finale et la position initiale il suffit de soustraire les deux vecteurs position :

$\begin{aligned}\Delta\vv{r}&=\vv{r_f}-\vv{r_i}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\left(5\vv{i }+1\vv{j}\right)-\left(3\vv{i}-2\vv{j}\right)\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\bigl(5- 3\bigr)\vv{i}+\bigl(1-(-2)\bigr)\vv{j}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=2\vv{i}+3\ vv{j}\end{aligné}$

Ensuite, pour trouver la distance entre ces deux points, il faut prendre la norme du vecteur déplacement calculé :

$\begin{aligned}|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{2^2+3^2}}\\[3ex]|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{ 4+9}\\[3ex]|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{13}\end{aligned}$