Centre de gravité : définition, formule, exemples, propriétés,...

Cet article explique ce qu'est le centre de gravité, comment ses coordonnées sont calculées et quelles sont ses propriétés. De plus, vous découvrirez les similitudes et les différences entre le centre de gravité, le centre de masse et le centre géométrique.

Quel est le centre de gravité ?

Le centre de gravité d'un corps ou d'un système est le point auquel toute la force de gravité agissant sur la masse dudit corps ou système est considérée comme affectant.

Autrement dit, le centre de gravité d'un corps est le point d'application de la force de gravité que la Terre exerce sur ledit corps.

Par exemple, le centre de gravité d’une sphère est le centre de la sphère. Il s’agit d’un exemple simple de centre de gravité puisque la masse d’une sphère est répartie uniformément dans tout le corps, mais il faut parfois faire un calcul pour déterminer le centre de gravité d’un corps, comme nous le verrons ci-dessous.

En physique, le centre de gravité est souvent abrégé en cdg ou CDG. De même, le centre de gravité est également appelé centre d’équilibre ou centre d’équilibre.

Comme vous pouvez l’imaginer, savoir où se trouve le centre de gravité d’un système est très important en ingénierie, par exemple, cela permet d’étudier correctement l’équilibre et la stabilité d’une structure.

Comment calculer le centre de gravité

Pour calculer les coordonnées du centre de gravité d'un système , vous devez trouver la somme des produits de chaque masse du système par sa distance à un point de référence, puis diviser le résultat par la somme de toutes les masses.

Vous devez utiliser cette formule deux fois, une fois pour trouver la coordonnée X du centre de gravité et une autre pour trouver la coordonnée Y. Les formules pour calculer le centre de gravité sont donc :

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

Logiquement, si vous travaillez en trois dimensions, vous devez appliquer à nouveau la même formule de manière analogue pour la coordonnée z.

Exemple de calcul du centre de gravité

Compte tenu de la définition et de la formule du centre de gravité, vous trouverez ci-dessous un exercice étape par étape vous permettant de voir comment le centre de gravité d'un système est calculé.

Étant donné le système suivant avec quatre objets de masses différentes, calculez le centre de gravité du système.

Dans ce cas les quatre figures géométriques du système sont symétriques, il faut donc prendre les coordonnées du centre de chaque figure pour calculer le centre de gravité.

Tout d’abord, nous calculons la coordonnée X du centre de gravité :

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

Et puis on trouve la coordonnée Y du centre de gravité avec sa formule correspondante :

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

En conclusion, le centre de gravité de l’ensemble du système est :

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

Centre de gravité et centre de masse

La différence entre le centre de gravité et le centre de masse réside dans le fait que le centre de gravité est le point d'application de la force de gravité, tandis que le centre de masse est le point d'application de toutes les forces extérieures.

Autrement dit, le centre de gravité est le point auquel la force résultant du remplacement de toutes les forces de gravité d'un système est considérée comme agissant, tandis que le centre de masse est le point où la force résultante est considérée comme agissant. toutes les forces externes au système.

Cependant, lorsque le champ gravitationnel est uniforme, le centre de gravité coïncide avec le centre de masse. Par conséquent, puisque la gravité sur Terre est presque uniforme, à des fins pratiques, le centre de masse et le centre de gravité sont considérés comme le même point.

Centre de gravité et centre géométrique

Le centre géométrique est le point qui se trouve au milieu d'une figure géométrique. Par exemple, le centre géométrique d’un rectangle est le point d’intersection de ses axes de symétrie.

Le centre géométrique d'un corps ou d'un système coïncide avec le centre de masse, et donc avec le centre de gravité, lorsque le corps a une densité uniforme ou lorsque la répartition des masses du système est symétrique.

En suivant le même exemple, le centre géométrique d'un rectangle est son centre de gravité et son centre de masse.

Propriétés du centre de gravité

Le centre de gravité d'un corps répond aux propriétés suivantes :

Si le champ gravitationnel est uniforme, le centre de gravité est équivalent au centre de masse.

Par conséquent, lorsque la propriété précédente est satisfaite, la formule du centre de masse peut être utilisée pour déterminer le centre de gravité d'un corps, qui consiste en l'intégrale suivante :

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

Toutes les forces gravitationnelles qui agissent sur les particules d'un système peuvent être remplacées par une seule force résultante de valeur M·g (le poids de l'ensemble du système) et avec un point d'application au centre de gravité.

Tout objet reposant sur une base horizontale sera en équilibre si la ligne verticale imaginaire passant par son centre de gravité coupe la base.