Approximation des nombres (mathématiques)

Cet article explique ce qu'est l'approximation des nombres et comment cela se fait. Ainsi, vous trouverez les différents types d’approximation qui existent ainsi que plusieurs exemples de chacun.

Qu’est-ce que l’approximation des nombres ?

En mathématiques, l' approximation est un processus dans lequel un nombre est transformé en un autre très proche. Autrement dit, l' approximation d'un nombre consiste à modifier sa valeur et à l'arrondir à un nombre très proche.

En général, le symbole ≈ est utilisé pour représenter l'approximation d'un nombre, bien que les symboles ~ ou =~ puissent également être utilisés, mais ils sont plus informels.

La valeur approximative est donc le nombre dont la valeur réelle est proche. Et la différence entre les deux est l’erreur d’approximation.

Approximation des nombres naturels

L' approximation des nombres naturels consiste à augmenter de 1 ou à garder le même nombre que l'on veut approximer, et le reste des nombres à droite devient 0.

• Si le chiffre qui suit le dernier chiffre significatif est supérieur ou égal à 5, le dernier chiffre significatif est augmenté de 1 ( arrondi au supérieur ).
• Si le chiffre qui suit le dernier chiffre significatif est inférieur à 5, le dernier chiffre significatif n'est pas modifié ( arrondi à l'inférieur ou à l'inférieur ).

Par exemple, lorsque l’on arrondit les centaines au nombre 1574, on obtient le nombre 1600, puisque le nombre après les centaines (7) est supérieur à 5.

Cependant, l'approximation des dizaines du nombre 891 reste à 890, puisque le chiffre qui vient après les dizaines est le chiffre 1 et est donc inférieur à 5.

Ci-dessous, vous pouvez voir plus d'exemples d'approximations de nombres naturels :

1. Approximation aux dizaines de 1352 → 1350
2. Approximation aux centaines de 45851 → 45900
3. Approximation aux milliers de 923802 → 924000.

Approximation des nombres décimaux

Il existe deux méthodes différentes pour approximer les nombres décimaux :

• Arrondi : selon les cas, la dernière décimale significative est augmentée de 1 ou conservée inchangée.
• Troncature : La dernière décimale significative reste toujours la même.

Chaque type d’approche est expliqué en détail ci-dessous.

Arrondi

Lors de l'arrondi, toutes les décimales après la dernière décimale significative sont éliminées et, de plus, la décimale à laquelle vous souhaitez arrondir est augmentée de 1 ou conservée identique, selon les cas :

• Si la décimale qui suit la dernière décimale est supérieure ou égale à 5, la dernière décimale est augmentée de 1 ( arrondi au supérieur ).
• Si la décimale après la dernière décimale est inférieure à 5, la dernière décimale reste la même ( arrondi à l'inférieur ou à l'inférieur ).

Par exemple, le nombre décimal 3,14159265 arrondi au dixième le plus proche est 3,1, car le nombre décimal suivant (4) est inférieur à 5.

En revanche, si on arrondit le nombre décimal 52,84917 au centième le plus proche, on obtient 52,85 puisque le chiffre décimal suivant (9) est supérieur à 5.

D’autres exemples d’arrondi de nombres décimaux sont présentés ci-dessous :

1. Arrondi au dixième le plus proche de 445,945 → 445,9
2. Arrondi au centième le plus proche de 7,03522 → 7,04
3. Arrondi au millième le plus proche de 39,802719 → 39,803

Troncature

La troncature réduit le nombre de décimales en éliminant celles qui sont moins significatives. Autrement dit, la troncature consiste à supprimer les chiffres qui se trouvent à droite du chiffre par lequel on veut tronquer.

Par exemple, lorsque l'on approxime le nombre 65,71834 par troncature en centièmes, on obtient le nombre 65,71, puisqu'il suffit de supprimer les décimales après les centièmes (834).

Ainsi, lors de la troncature d'un nombre, peu importe qu'après la dernière décimale significative se trouve un nombre supérieur, égal ou inférieur à 5, car toutes les décimales suivantes doivent toujours être éliminées.

Si vous regardez le dernier exemple, si nous avions arrondi le nombre 65,71834 nous aurions obtenu 65,72. Cependant, en utilisant la troncature, nous obtenons 65,71. En conclusion, le nombre approximatif peut être différent selon la méthode d'approximation choisie.

Ci-dessous vous pouvez voir plus d'exemples d'approximation par troncature :

1. Troncature par l'unité 9 634 → 9
2. Troncation par le dixième de 4,13558 → 4,1
3. Troncation au centième de 71,0442 → 71,04