▷ Distances

Cet article explique ce qu'est la distance en physique. De plus, vous découvrirez comment calculer la distance entre deux points et des exemples résolus de distances entre points.

Qu’est-ce que la distance ?

La distance est une quantité scalaire qui indique la distance qui sépare deux points ou objets. Ainsi, la distance entre deux points est la longueur du segment de droite qui les relie.

En physique et en mathématiques, la distance entre deux points est définie comme la grandeur du vecteur qui relie les points. Par conséquent, pour calculer la distance entre deux points, il faut trouver la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées des points. Ci-dessous nous verrons en détail comment trouver la distance entre deux points.

La distance est exprimée en unités de longueur, donc l'unité de distance dans le Système International (SI) est le mètre (m). Cependant, les valeurs pour les longues distances sont généralement exprimées en kilomètres (km).

formule de distance

La formule de distance varie légèrement selon que vous travaillez en une, deux ou trois dimensions. Ainsi, ci-dessous nous verrons comment est calculée la distance entre deux points selon que l'on travaille avec une, deux ou trois coordonnées.

Distance en ligne droite

La distance entre deux points sur la droite est égale à la valeur absolue de la différence entre les coordonnées des deux points (d=|x ₂ -x ₁ |). Par conséquent, pour calculer la distance entre deux points sur la ligne, il suffit de soustraire leurs coordonnées puis de rendre le résultat positif.

$d_{12}=|x_2-x_1|$

Où:

$d_{12}$ est la distance entre le point 1 et le point 2.
$x_1$ est la coordonnée du point 1.
$x_2$ est la coordonnée du point 2.

N'oubliez pas que l'opération de valeur absolue consiste à prendre le nombre à l'intérieur comme positif quel que soit son signe, c'est-à-dire qu'elle transforme un nombre négatif en nombre positif.

$\begin{array}{c}|5|=5\\[2ex]|-5|=5\end{array}$

Exemple de calcul de la distance sur la ligne

Une particule se déplaçant en ligne droite se trouve initialement à la position x ₁ = 6 m puis à la position x ₂ = 2 m. Quelle distance la particule a-t-elle parcourue ?

Pour déterminer la distance entre les deux positions, il suffit de soustraire leurs valeurs puis de prendre la valeur absolue du résultat de la soustraction :

$\begin{aligned}d_{12}&=|x_2-x_1|\\[2ex]d_{12}&=|2-6|\\[2ex]d_{12}&=|-4| \\[2ex]d_{12}&=4 \ m \end{aligned}$

Distance dans l'avion

La distance entre deux points du plan est égale à la norme du vecteur qui relie les deux points. Ainsi, pour calculer la distance entre deux points, il faut trouver la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées des deux points.

$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Où:

$d_{12}$ est la distance entre le point 1 et le point 2.
$x_1, y_1$ sont les coordonnées X et Y du point 1.
$x_2, y_2$ sont les coordonnées X et Y du point 2.

Exemple de calcul de distance dans l'avion

Quelle est la distance entre le point A(3,-1) et le point B(-2,5) ?

Pour trouver la distance entre ces deux points, il faut appliquer la formule de la distance dans le plan :

$\begin{aligned}d_{AB}&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{\bigl( -2-3\bigr)^2+\bigl(5-(-1)\bigr)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{(-5)^2+6^2} \\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{25+36}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{61}\end{aligned}$

distance dans l'espace

La distance entre deux points dans l’espace est égale à la norme du vecteur qui relie les deux points. Par conséquent, la seule différence entre le calcul de la distance dans l’espace et dans le plan est que les points ont trois coordonnées au lieu de deux.

$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Où:

$d_{12}$ est la distance entre le point 1 et le point 2.
$x_1, y_1, z_1$ sont les coordonnées X, Y et Z du point 1.
$x_2, y_2, z_2$ sont les coordonnées X, Y et Z du point 2.

Exemple de calcul de distance dans l'espace

Un corps en mouvement va du point A(1,4,2) au point B(3,-1,5), quelle est la distance parcourue par le corps ?

Pour trouver la distance entre les deux points du problème il faut simplement utiliser la formule de distance dans l'espace :

$\begin{aligned}d_{AB}&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\\[2ex]d_{AB} &=\sqrt{(3-1)^2+(-1-4)^2+(5-2)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{2^2+(- 5)^2+3^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{4+25+9}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{38}\end{aligned}$

Distance parcourue et déplacement

Nous verrons ensuite quelle est la différence entre la distance parcourue et le déplacement, car ce sont deux concepts souvent confondus en physique.

Le déplacement est la variation de la position d'un corps. Par conséquent, le déplacement d’un corps est calculé en soustrayant sa position finale moins sa position initiale.

Cependant, la distance parcourue fait référence à la longueur parcourue par un corps pour se rendre d'un point à un autre, c'est-à-dire que la distance parcourue correspond à la totalité du chemin parcouru par le corps.

Par conséquent, la différence entre la distance parcourue et le déplacement est que la distance parcourue est la longueur de tout le chemin parcouru, tandis que le déplacement est la distance entre la position finale et la position initiale.

➤ Voir : Déplacement (physique)

distance et vitesse

Pour finir, nous verrons quel est le rapport entre distance et vitesse, puisque la distance parcourue par un corps mobile peut aussi être calculée à partir de sa vitesse.

La vitesse est une grandeur scalaire qui indique la variation de la distance parcourue par un corps par unité de temps. Ainsi, plus la vitesse d’un corps est grande, plus il parcourra de distance dans le même intervalle de temps.

Ainsi, la distance et la vitesse sont liées au temps. Plus précisément, la distance parcourue par un corps est équivalente à sa vitesse multipliée par le temps écoulé (d=v·t).

$d=v\cdot t$

Où:

$d$ est la distance parcourue.
$v$ est la vitesse.
$t$ est le temps écoulé.

Notez que le calcul de la distance parcourue se fait en fonction de la vitesse et non de la vitesse. Puisque la vitesse est définie par le déplacement plutôt que par la distance parcourue.

➤ Voir : Différence entre vitesse et vitesse

Distance (physique)