▷ Mesafeler

Bu makale fizikte mesafenin ne olduğunu açıklamaktadır. Ek olarak, iki nokta arasındaki mesafenin nasıl hesaplanacağını ve noktalar arasındaki mesafelerin çözülmüş örneklerini öğreneceksiniz.

Mesafe nedir?

Mesafe, iki nokta veya nesne arasındaki mesafeyi belirten skaler bir miktardır. Dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.

Fizik ve matematikte iki nokta arasındaki mesafe, noktaları birleştiren vektörün büyüklüğü olarak tanımlanır. Bu nedenle iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için noktaların koordinatları arasındaki farkların karelerinin toplamının karekökünü bulmak gerekir. Aşağıda iki nokta arasındaki mesafenin nasıl bulunacağını detaylı olarak göreceğiz.

Mesafe uzunluk birimleriyle ifade edilir, dolayısıyla Uluslararası Sistemde (SI) mesafe birimi metredir (m). Ancak uzun mesafeler için değerler genellikle kilometre (km) cinsinden ifade edilir.

mesafe formülü

Uzaklık formülü, bir, iki veya üç boyutta çalışmanıza bağlı olarak biraz değişir. Aşağıda bir, iki veya üç koordinatla çalışmamıza bağlı olarak iki nokta arasındaki mesafenin nasıl hesaplandığını göreceğiz.

Düz hat mesafesi

Doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe, iki noktanın koordinatları arasındaki farkın mutlak değerine eşittir (d=|x ₂ -x ₁ |). Bu nedenle, doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için koordinatlarını çıkarmanız ve sonucu pozitif yapmanız yeterlidir.

$d_{12}=|x_2-x_1|$

Altın:

$d_{12}$

1. nokta ile 2. nokta arasındaki mesafedir.
$x_1$

1 noktasının koordinatıdır.
$x_2$

2 noktasının koordinatıdır.

Mutlak değer işleminin, içindeki sayıyı işareti ne olursa olsun pozitif olarak almayı, yani negatif bir sayıyı pozitif sayıya dönüştürmeyi içerdiğini unutmayın.

$\begin{array}{c}|5|=5\\[2ex]|-5|=5\end{array}$

Hattaki mesafeyi hesaplama örneği

Düz bir çizgide hareket eden bir parçacık başlangıçta x ₁ = 6 m konumunda ve daha sonra x ₂ = 2 m konumundadır. Parçacık ne kadar uzağa gitti?

İki konum arasındaki mesafeyi belirlemek için değerlerini çıkarın ve ardından çıkarma sonucunun mutlak değerini alın:

$\begin{aligned}d_{12}&=|x_2-x_1|\\[2ex]d_{12}&=|2-6|\\[2ex]d_{12}&=|-4| \\[2ex]d_{12}&=4 \ m \end{aligned}$

Uçaktaki mesafe

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe, iki noktayı birleştiren vektörün normuna eşittir. Yani iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için iki noktanın koordinatları arasındaki farkların karelerinin toplamının karekökünü bulmamız gerekir.

$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Altın:

$d_{12}$

1. nokta ile 2. nokta arasındaki mesafedir.
$x_1, y_1$

1 noktasının X ve Y koordinatlarıdır.
$x_2, y_2$

2 noktasının X ve Y koordinatlarıdır.

Düzlemde mesafe hesaplama örneği

A(3,-1) noktası ile B(-2,5) noktası arasındaki mesafe nedir?

Bu iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için düzlemdeki mesafe formülünü uygulamalıyız:

$\begin{aligned}d_{AB}&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{\bigl( -2-3\bigr)^2+\bigl(5-(-1)\bigr)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{(-5)^2+6^2} \\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{25+36}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{61}\end{aligned}$

uzaydaki mesafe

Uzayda iki nokta arasındaki uzaklık, iki noktayı birleştiren vektörün büyüklüğüne eşittir. Dolayısıyla uzaydaki mesafe ile düzlemdeki mesafenin hesaplanması arasındaki tek fark, noktaların iki yerine üç koordinata sahip olmasıdır.

$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Altın:

$d_{12}$

1. nokta ile 2. nokta arasındaki mesafedir.
$x_1, y_1, z_1$

1 noktasının X, Y ve Z koordinatlarıdır.
$x_2, y_2, z_2$

2 noktasının X, Y ve Z koordinatlarıdır.

Uzayda mesafe hesaplama örneği

Hareket eden bir cisim A(1,4,2) noktasından B(3,-1,5) noktasına gidiyor, cismin kat ettiği mesafe nedir?

Sorunun iki noktası arasındaki mesafeyi bulmak için uzaydaki mesafe formülünü kullanmanız yeterlidir:

$\begin{aligned}d_{AB}&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\\[2ex]d_{AB} &=\sqrt{(3-1)^2+(-1-4)^2+(5-2)^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{2^2+(- 5)^2+3^2}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{4+25+9}\\[2ex]d_{AB}&=\sqrt{38}\end{aligned}$

Kat edilen mesafe ve hareket

Daha sonra kat edilen mesafe ile yer değiştirme arasındaki farkın ne olduğunu göreceğiz çünkü bunlar fizikte sıklıkla karıştırılan iki kavramdır.

Yer değiştirme, bir cismin pozisyonundaki değişikliktir. Bu nedenle, bir cismin yer değiştirmesi, son konumu eksi başlangıç konumu çıkarılarak hesaplanır.

Ancak kat edilen mesafe , bir bedenin bir noktadan diğerine giderken kat ettiği mesafeyi ifade eder; yani kat edilen mesafe, vücudun kat ettiği yolun tamamıdır.

Bu nedenle, kat edilen mesafe ile yer değiştirme arasındaki fark , kat edilen mesafenin kat edilen tüm yolun uzunluğu olması, yer değiştirmenin ise son konumdan başlangıç konumuna olan mesafe olmasıdır.

➤ Bakınız: Yer Değiştirme (fizik)

Mesafe ve hız

Son olarak, hareket eden bir cismin kat ettiği mesafe onun hızından da hesaplanabileceğinden, mesafe ile hız arasındaki ilişkinin ne olduğunu göreceğiz.

Hız, bir cismin birim zamanda kat ettiği mesafenin değişimini gösteren skaler bir niceliktir. Yani bir cismin hızı ne kadar büyükse aynı zaman aralığında kat edeceği mesafe de o kadar fazla olur.

Yani mesafe ve hız zamanla ilişkilidir. Daha kesin olarak, bir cismin kat ettiği mesafe, hızının geçen zamanla (d=v·t) çarpımına eşdeğerdir.

$d=v\cdot t$