▷ Eğik düzlem (fizik): çözülmüş formüller ve alıştırmalar

Bu makale fizikte eğik düzlemlerin ne olduğunu ve bu tür problemlerin nasıl çözüldüğünü açıklamaktadır. Eğik bir düzleme etki eden kuvvetlerin formüllerini bulacaksınız ve ayrıca eğimli düzlemde adım adım çözülen egzersizlerle antrenman yapabileceksiniz.

Eğik düzlem nedir?

Eğik düzlem belirli bir açıyla eğimli bir yüzeydir. Fizikte eğik düzlem kuvvet problemlerini çözmek için kullanılır.

Örneğin bir rampa veya eğimli bir yol eğimli düzlemlerdir.

Eğik düzlem, bir nesneyi daha az kuvvet kullanarak taşımanıza olanak tanır. Bir nesneyi eğik bir düzlemde itmek, onu dikey olarak kaldırmaktan daha az kuvvet gerektirdiğinden.

Ayrıca eğik düzlem altı klasik basit makineden biri olarak kabul edilir.

Eğik düzlem formülleri

Artık eğik düzlemin tanımını bildiğimize göre, eğik düzlemde hangi formüllerin etkili olduğunu ve bunları hangi denklemlerin birbirine bağladığını görelim.

Eğik düzlem egzersizlerinde karşılaştığımız ilk sorun, kuvvetlerin çoğunun eğik düzleme paralel veya dik yönde etki etmesidir. Dolayısıyla tipik koordinat eksenleri (bir dikey eksen ve bir yatay eksen) bu tür problemler için pek kullanışlı değildir. Bu nedenle genel olarak eğik düzlemlerde farklı bir koordinat sistemiyle çalışırız:

Fizikte eğik düzlem problemini çözmek için iki farklı eksen kullanırız: yönü eğik düzleme paralel olan birinci eksen ve yönü eğik düzleme dik olan ikinci eksen.

Ayrıca resimde görebileceğiniz gibi eğik bir düzlemde genellikle üç farklı kuvvet etki eder (eğer sürtünme varsa): ağırlık kuvveti, normal kuvvet ve sürtünme kuvveti (veya sürtünme kuvveti). Ancak mantıksal olarak eğik düzlemde sürtünme yoksa sürtünme kuvveti ihmal edilir.

Ancak ağırlığın kuvveti vektörel olarak iki bileşene ayrılır: eğik düzleme paralel bir bileşen ve eğik düzleme dik başka bir bileşen. Bu şekilde tüm kuvvetler eğik düzlemin çalışma eksenlerinde ifade edilebilir. Böylece, eğimli bir düzlem üzerinde duran vücudun ağırlığının iki bileşeni, eğim açısının sinüsü ve kosinüsü ile hesaplanır:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Son olarak eğik bir düzleme etki eden kuvvetler aşağıdaki iki formülle ilişkilendirilebilir:

Problem tanımında aksi belirtilmediği takdirde, eğik düzlemdeki cisim yokuş aşağı kayabilir, bu nedenle düzleme paralel eksen için denklemde olası bir ivme yer alır. Öte yandan cisim eğik düzleme dik eksen yönünde hareket edemediğinden kuvvetlerin toplamı sıfırdır.

Eğik düzlemin çözülmüş örneği

Eğik düzlem problemlerinin fizikte nasıl çözüldüğünü görebilmeniz için aşağıda adım adım çözülmüş bir örneği görebilirsiniz.

Eğimi 45° olan bir düzlemin tepesine m=6 kg kütleli bir cisim yerleştiriyoruz. Eğer cisim eğik düzlem üzerinde 4 m/s ² ivmeyle kayıyorsa, eğik düzlem yüzeyi ile cismin yüzeyi arasındaki dinamik sürtünme katsayısı nedir? Veri: g=10 m/ ^s2 .

Sürtünme katsayısı veya dinamik sürtünme sorunu

Dinamik ile ilgili herhangi bir fizik problemini çözmek için yapmamız gereken ilk şey serbest cisim diyagramını çizmektir. Yani sisteme etki eden tüm kuvvetler şunlardır:

Sürtünme katsayısı veya dinamik sürtünmenin çözülmüş egzersizi

Cisim 1. eksen yönünde (eğik düzleme paralel) bir ivmeye sahiptir, ancak 2. eksen yönünde (eğik düzleme dik) cisim hareketsizdir. Bu bilgiden sistem kuvvetlerinin denklemlerini kurarız:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

Böylece normal kuvveti ikinci denklemden hesaplayabiliriz:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

Öte yandan sürtünme kuvvetinin (veya sürtünme kuvvetinin) değerini sunulan ilk denklemden hesaplıyoruz:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

Normal kuvvetin ve sürtünme kuvvetinin değerini bildiğimizde, buna karşılık gelen formülü kullanarak dinamik sürtünme katsayısını belirleyebiliriz:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Eğik düzlemde çözülen alıştırmalar

1. Egzersiz

Eğim açısı 30° olan eğik bir düzlemin tepesine m=2 kg kütleli bir cisim yerleştiriyoruz. Eğer rampa ve gövde dengede kalırsa arasındaki sürtünme katsayısı nedir? Veri: g=9,81 m/s ²

Çözümü görün

Kuvvet içeren her fizik probleminde olduğu gibi yapılacak ilk şey sistemin serbest cisim diyagramını çizmektir. Bu sisteme etki eden tüm kuvvetler şunlardır:

normal kuvvet ve sürtünme kuvvetinin uygulanmasını çözmek

Yani sistemin dengede olabilmesi için 1 ve 2 numaralı eksenlere etkiyen kuvvetlerin toplamının sıfıra eşit olması gerekir. Bu nedenle aşağıdaki denklemler doğrudur:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

Artık normal kuvvetin değerini ikinci denklemden hesaplayabiliriz:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

Öte yandan sürtünme kuvvetinin değerini birinci denklemi kullanarak belirliyoruz:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Benzer şekilde sürtünme kuvveti, aşağıdaki formül kullanılarak normal kuvvet ve sürtünme katsayısı ile ilişkilendirilebilir:

$F_R=\mu \cdot N$

Bu nedenle sürtünme katsayısını denklemden çözüyoruz ve değerini hesaplıyoruz:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Alıştırma 2

Eğik bir düzlem ve bir makaradan oluşan aşağıdaki sistemde görüldüğü gibi, iki cisim kütleleri ihmal edilebilir bir halat ve bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Cisim 2’nin kütlesi m ₂ = 7 kg ise ve rampanın eğimi 50° ise, tüm sistemin dengede olması için eğik düzlemin m ₁ kütleli cisme uyguladığı normal kuvveti hesaplayın. Egzersiz boyunca sürtünme kuvvetini ihmal edin.

Çözümü görün

Cisim 1 eğimli bir eğim üzerinde olduğundan yapılacak ilk şey, kuvvetlerin eğim eksenleri üzerinde olmasını sağlamak için ağırlığının kuvvetini vektörleştirmektir:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Dolayısıyla sistemin tamamına etki eden kuvvetler kümesi şunlardır:

Problem ifadesi bize kuvvetler sisteminin dengede olduğunu, dolayısıyla iki cismin de dengede olması gerektiğini söyler. Bu bilgiden iki cismin denge denklemlerini önerebiliriz:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

Önceki denklemden cismin 1 kütlesini hesaplayabiliriz:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

Öte yandan sistemin kuvvet diyagramına baktığımızda normal kuvvetin 1 numaralı cismin ağırlığının eğik düzleme dik vektör bileşenine eşit olması gerektiğini görürüz.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Dolayısıyla bu denklemden normal kuvvetin değerini bulabiliriz:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

İkinci denklemden kızağa etki eden normal kuvveti hesaplayabiliriz.

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Artık normal kuvvetin değerini ve dinamik sürtünme katsayısını bildiğimize göre, sürtünme kuvvetini ilgili formülü uygulayarak hesaplayabiliriz:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Dolayısıyla son hızı belirlemek için öncelikle kızağın ivmesini bulmalıyız ve bu, sunulan ilk kuvvet denkleminden hesaplanabilir:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Kızağın ivmesini bildiğimizde, sabit ivmede doğrusal hareket denklemi ile 20 metrelik yolu kat etmek için gereken süreyi hesaplarız:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Mantıksal olarak, zaman negatif olamayacak fiziksel bir nicelik olduğundan negatif çözümü hariç tutuyoruz.

Son olarak, sabit ivme formülünü kullanarak son hızı hesaplıyoruz:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$