Ağırlık merkezi: tanım, formül, örnekler, özellikler,...

Bu makalede ağırlık merkezinin ne olduğu, koordinatlarının nasıl hesaplandığı ve özelliklerinin neler olduğu anlatılmaktadır. Ayrıca ağırlık merkezi, kütle merkezi ve geometrik merkez arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları öğreneceksiniz.

Ağırlık merkezi nedir?

Bir cismin veya sistemin ağırlık merkezi, söz konusu cismin veya sistemin kütlesine etki eden tüm yerçekimi kuvvetinin etki ettiği kabul edilen noktadır.

Başka bir deyişle, bir cismin ağırlık merkezi, Dünya’nın söz konusu cisme uyguladığı yerçekimi kuvvetinin uygulama noktasıdır.

Örneğin bir kürenin ağırlık merkezi kürenin merkezidir. Bir kürenin kütlesi tüm vücuda eşit olarak dağıtıldığından bu, ağırlık merkezinin basit bir örneğidir, ancak aşağıda göreceğimiz gibi bazen bir cismin ağırlık merkezini belirlemek için bir hesaplama yapılması gerekir.

Fizikte ağırlık merkezi genellikle cdg veya CDG olarak kısaltılır. Benzer şekilde ağırlık merkezine de denge merkezi veya denge merkezi adı verilir.

Tahmin edebileceğiniz gibi mühendislikte bir sistemin ağırlık merkezinin nerede olduğunu bilmek, örneğin bir yapının dengesini ve stabilitesini doğru bir şekilde incelemenizi sağlar.

Ağırlık merkezi nasıl hesaplanır

Bir sistemin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak için , sistemdeki her kütlenin çarpımlarının toplamını bir referans noktasına olan uzaklığına göre bulmanız ve ardından sonucu tüm kütlelerin toplamına bölmeniz gerekir.

Bu formülü biri ağırlık merkezinin X koordinatını bulmak için, diğeri Y koordinatını bulmak için olmak üzere iki kez kullanmanız gerekir. Yani ağırlık merkezini hesaplamak için formüller şunlardır:

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

Mantıksal olarak eğer üç boyutta çalışıyorsanız aynı formülü benzer şekilde z koordinatı için de uygulamanız gerekir.

Ağırlık merkezini hesaplama örneği

Aşağıda ağırlık merkezinin tanımı ve formülü dikkate alınarak bir sistemin ağırlık merkezinin nasıl hesaplandığını görmeniz için adım adım bir alıştırma yer almaktadır.

Farklı kütlelere sahip dört nesneden oluşan aşağıdaki sistem göz önüne alındığında, sistemin ağırlık merkezini hesaplayın.

Bu durumda sistemin dört geometrik şekli simetrik olduğundan, ağırlık merkezini hesaplamak için her şeklin merkezinin koordinatlarını almak gerekir.

Öncelikle ağırlık merkezinin X koordinatını hesaplıyoruz:

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

Daha sonra ağırlık merkezinin Y koordinatını karşılık gelen formülüyle buluyoruz:

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

Sonuç olarak tüm sistemin ağırlık merkezi şu şekildedir:

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

Ağırlık merkezi ve kütle merkezi

Ağırlık merkezi ile kütle merkezi arasındaki fark, ağırlık merkezinin yerçekimi kuvvetinin uygulama noktası olması, kütle merkezinin ise tüm dış kuvvetlerin uygulama noktası olmasıdır.

Yani ağırlık merkezi, bir sistemdeki tüm yerçekimi kuvvetlerinin yerini almasıyla ortaya çıkan kuvvetin etki ettiği kabul edilen noktadır; kütle merkezi ise bileşke kuvvetin etki ettiği kabul edilen noktadır. Sistem dışındaki tüm kuvvetler.

Ancak yerçekimi alanı düzgün olduğunda ağırlık merkezi kütle merkeziyle çakışır. Bu nedenle, Dünya’daki yerçekimi neredeyse tekdüze olduğundan, pratik amaçlar için kütle merkezi ve ağırlık merkezi aynı nokta olarak kabul edilir.

Ağırlık merkezi ve geometrik merkez

Geometrik merkez, geometrik bir şeklin ortasındaki noktadır. Örneğin, bir dikdörtgenin geometrik merkezi, simetri eksenlerinin kesişme noktasıdır.

Bir cismin veya sistemin geometrik merkezi, cismin tekdüze bir yoğunluğa sahip olduğu veya sistemin kütle dağılımının simetrik olduğu durumlarda kütle merkeziyle ve dolayısıyla ağırlık merkeziyle çakışır.

Aynı örneği takip edersek, bir dikdörtgenin geometrik merkezi onun ağırlık merkezi ve kütle merkezidir.

Ağırlık Merkezi Özellikleri

Bir cismin ağırlık merkezi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Yerçekimi alanı düzgünse, ağırlık merkezi kütle merkezine eşdeğerdir.

Bu nedenle, önceki özellik karşılandığında, aşağıdaki integralden oluşan bir cismin ağırlık merkezini belirlemek için kütle merkezi formülü kullanılabilir:

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

Bir sistemin parçacıklarına etki eden tüm yerçekimi kuvvetleri, sonuçta ortaya çıkan M·g değerindeki tek bir kuvvet (tüm sistemin ağırlığı) ve ağırlık merkezinde bir uygulama noktası ile değiştirilebilir.

Yatay bir taban üzerinde duran herhangi bir nesne, ağırlık merkezinden geçen hayali dikey çizginin tabanla kesişmesi durumunda dengede olacaktır.