▷ Duran dalgalar

Bu makale fizikte duran dalgaların ne olduğunu açıklamaktadır. Böylece duran dalgaların denklemini, duran dalgaların özelliklerinin neler olduğunu ve dahası, duran dalgaların farklı türlerinin neler olduğunu bulacaksınız.

Duran dalga nedir?

Duran dalga, zirveleri dikey olarak salınan ancak uzunlamasına ilerlemeyen salınımlı bir rahatsızlıktır. Duran dalgalar, aynı özelliklere sahip ancak zıt yönlerde hareket eden dalgaların üst üste gelmesinden oluşan iki veya daha fazla dalga arasındaki girişimin sonucudur.

Çoğu durumda, duran dalgalara fiziksel rezonans olgusu neden olur; öyle ki, bir dalga ile onun bir rezonatör ortamında yansıyan dalgası arasında dalgadan dalgaya girişim meydana gelir.

Örneğin elastik bir ipi bir ucundan duvara bağladığımızda ve ipi titreştirdiğimizde duran bir dalga oluşur. İp salınır ve titreşimler ipin sabit ucuna yansıtılır, böylece iki dalga üst üste gelir ve duran bir dalga oluşur.

Yukarıdaki grafik, duran dalgayı (kırmızı dalga) ve duran dalgayı (yeşil ve mavi dalgalar) oluşturmak için üst üste gelen dalgalarla birlikte göstermektedir. Gördüğünüz gibi yeşil dalga sağa doğru hareket ediyor, mavi dalga sola doğru hareket ediyor ve tam tersine duran dalga yatay olarak hareket etmiyor, yalnızca dikey olarak titreşiyor.

Duran dalgalar ilk kez 1831’de İngiliz fizikçi Michael Faraday tarafından tanımlandı. Ancak “duran dalga” adı 1860 yılında Alman fizikçi Franz Melde tarafından icat edildi.

Duran dalga denklemi

Sabit bir denklem, orijinal dalgaların genliğinin iki katı çarpı dalga sayısının sinüsü çarpı uzama ve açısal frekansın kosinüsü çarpı zaman çarpımından oluşur. Dolayısıyla duran dalganın denklemi y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) olur .

$y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)$

Altın:

$y$

duran dalganın incelenen noktasının uzamasıdır.
$A$

orijinal dalgaların genliğidir.
$k$

dalga sayısıdır.
$x$

duran dalganın çalışılan noktasının konumudur.
$\omega$

açısal veya titreşim frekansıdır.
$t$

zamanın anıdır.

Not: Duran dalga denklemini ifade etmenin birkaç yolu vardır; dolayısıyla kitaba bağlı olarak biraz farklı bir denklem bulabilirsiniz. Ancak fizikte en çok kullanılan duran dalga denklemi bu makalede sunulan denklemdir.

Duran bir dalganın dalga sayısı ve açısal frekansının aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplandığını unutmayın:

$\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}$

Altın:

$k$

dalga sayısıdır.
$\lambda$

dalga boyudur, yani duran dalganın iki eşdeğer noktası arasındaki mesafedir.
$\omega$

açısal veya titreşim frekansıdır.
$T$

dalganın bir noktadan geçmesi ile tekrar eşdeğer bir noktadan geçmesi arasında geçen süre olarak tanımlanan süredir.
$f$

dalganın birim zamandaki salınım sayısı olan frekanstır.

Duran dalga denkleminin gösterimine bakın

Aşağıdaki denklemlerle tanımlanan iki yayılma dalgası göz önüne alındığında:

$\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

Duran dalga, iki salınımlı dalganın toplamı olduğundan, duran dalga denklemi önceki iki denklemin toplamı olacaktır:

$\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

Daha sonra aşağıdaki trigonometrik formülleri uygulayacağız:

$\displaystyle\text{sin}(A)+\text{sin}(B)=2\cdot \text{sin}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\ texte{cos}\left(\frac{AB}{2}\right)$

$\text{cos}(-A)=\text{cos}(A)$

Böylece önceki trigonometrik formülleri uygulayarak duran dalga denklemine ulaşıyoruz:

$\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}$

Duran dalganın düğümleri ve antinotları

Herhangi bir duran dalga, aşağıdaki şekilde tanımlanan düğümlerden ve antinotlardan oluşur:

Düğümler : Duran dalganın uzaması minimum (y=0) olan noktalarıdır. Bu noktalar ne yatay ne de dikey olarak hareket etmediğinden tamamen sabittir.
Göbekler (veya göbekler) : Bunlar duran dalganın uzaması maksimum olan noktalarıdır (y = 2A veya y = -2A). Bu noktalar y=2A uzamasından y=-2A’ya kadar dikey olarak salınır.

Her iki ucu sabit olan duran dalgalar

Duran dalgalar her iki ucu da sabit olarak üretildiğinde, bu, dalganın uçlarının düğüm olduğu anlamına gelir. Bu tip duran dalgalar, her iki tarafı kapalı tüplerde veya uçlarına bağlanan titreşen halatlarla gerçekleştirilir.

Örneğin bir gitarın tellerini titreştirdiğimizde iki ucu sabit olan duran dalgalar üretiriz.

Bu durumda duran dalganın dalga boyu ve frekansı aşağıdaki formüllerle tanımlanır:

$\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}$

Altın:

$\lambda$

dalga boyudur.
$L$

dizenin uzunluğudur.
$n$

harmonik sayıdır (n=1, 2, 3, 4…).
$f$

doğal veya harmonik frekanstır.
$v$

dalga yayılma hızıdır.

her iki ucu sabit olan duran dalgaların harmonikleri.png

Yukarıdaki görselde görebileceğiniz gibi antinod sayısı ve düğüm sayısı harmonik sayısına bağlıdır. Her iki ucu sabit olan bir duran dalganın antinot sayısı harmonik sayıya eşdeğerdir, düğüm sayısı ise harmonik sayı artı birdir.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n+1$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

Her iki ucu serbest olan duran dalgalar

Son olarak, duran dalgaların her iki ucu da serbest olabilir , böylece duran dalganın her iki ucu da antinod olur.

Bu tür durağan dalgalar birçok nefesli çalgıda her iki ucu da açık olduğundan üretilir.

Her iki ucu açık olan bir duran dalganın dalga boyu ve frekansı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

$\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}$

Altın:

$\lambda$

dalga boyudur.
$L$

dizenin uzunluğudur.
$n$

harmonik sayıdır (n=1, 2, 3, 4…).
$f$

doğal veya harmonik frekanstır.
$v$

dalganın yayılma hızıdır.

Yukarıdaki görsele baktığınızda bu tür duran dalgaların harmonik sayısı kadar düğüm noktası olduğunu görürsünüz. Buna karşılık, bu durağan dalga sınıfının antinotlarının sayısı harmonik sayı artı birdir.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n+1$

Bir sabit ucu ve bir serbest ucu olan duran dalgalar

Dalganın bir ucunun sabit, diğer ucunun serbest olduğu bir ortamda yayılması , dalganın bir ucunun düğüm, diğer ucunun ise antinod olacağı anlamına gelir.

Bu tür durağan dalgalar birçok müzik enstrümanında meydana gelir; örneğin, bir trompet, flüt veya klarnette üretilen dalgaların, müzisyenin içinden üflediği bir sabit ucu ve müzisyenin içinden üflediği başka bir serbest ucu vardır. Enstrüman.

Bu durumda duran dalganın uzunluğu ve frekansı aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir:

$\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}$

Altın:

$\lambda$

dalga boyudur.
$L$

dizenin uzunluğudur.
$n$

harmonik sayısını (n=1, 2, 3, 4…) belirleyen parametredir.
$f$

doğal veya harmonik frekanstır.
$v$

dalganın yayılma hızıdır.

Not: Bu durumda yalnızca tek harmoniklerin mevcut olduğunu unutmayın (1, 3, 5, 7…), çünkü bu tür duran dalgalarda temel frekansın yalnızca tek katlarını oluşturmak mümkündür.

sabit bir ucu ve serbest ucu olan duran dalgalar

Bu durumda duran dalga, antinodlarla aynı sayıda düğüme sahiptir. Somut olarak, duran dalganın harmoniğin n parametresinin değeri kadar düğümü ve antinodu vardır:

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

Durağan dalga

Duran dalga nedir?

Duran dalga denklemi

Duran dalganın düğümleri ve antinotları

Her iki ucu sabit olan duran dalgalar

Her iki ucu serbest olan duran dalgalar

Bir sabit ucu ve bir serbest ucu olan duran dalgalar

Yorum Yap Yanıtı İptal Et