▷ Denge koşulları

Bu makale denge koşullarının ne olduğunu açıklamaktadır. Hem denge koşullarının gerçek örneklerini bulacaksınız, hem de adım adım çözülen egzersizlerle antrenman yapabileceksiniz.

Denge koşulları nelerdir?

Fizikte denge koşulları , bir cismin kendisine uygulanan kuvvetlerin ve momentlerin toplamının sıfıra eşit olması durumunda dengede olduğunu belirtir.

Dolayısıyla denge için iki koşul vardır: İlk koşul, bileşke kuvvetin sıfır olması gerektiğini söyler ve ikinci koşul, bileşke momentin sıfır olması gerektiğini söyler.

Unutmayın ki bir sistemin dengede sayılması için her iki denklemin de karşılanması gerekir, sadece bir koşulun karşılanması yeterli değildir.

Dengenin ilk şartı

Birinci denge koşulu , bir cisme uygulanan kuvvetlerin toplamının, söz konusu cismin öteleme dengesinde olması için sıfıra eşit olması gerektiğini söyler.

Mantıksal olarak kuvvetlerin toplamı üç eksen için de sıfır olmalıdır, eğer herhangi bir eksende karşılanmıyorsa cisim dengede değildir.

$\displaystyle \sum\vv{F_x}=0\qquad\sum\vv{F_y}=0\qquad\sum\vv{F_z}=0$

Ayrıca kuvvetlerin toplamı sıfırsa bu, cismin doğrusal bir ivmesinin olmadığı anlamına gelir. Böylece, öteleme dengesindeki bir cisim hareketsiz olabilir (sıfır hızda) veya sabit doğrusal hızda hareket edebilir.

Buradan iki tür öteleme dengesi ayırt edilebilir:

Statik öteleme dengesi : İlk denge koşulu karşılandığında ve vücut da hareketsiz olduğunda.
Dinamik öteleme dengesi : İlk denge koşulu karşılandığında ve vücut sabit bir hıza sahip olduğunda (sıfırdan farklı).

İkinci denge koşulu

İkinci denge koşulu birinci denge koşuluna benzer ancak kuvvetler yerine momentleri kullanır.

İkinci denge koşulu, eğer bir cismin momentlerinin toplamı sıfırsa, o zaman cismin dönme dengesinde olduğunu söyler.

Aynı şekilde çerçevenin tüm eksenlerinde momentlerin toplamı sıfır olmalıdır, aksi halde ikinci denge koşulu doğrulanmaz.

$\displaystyle \sum\vv{M_x}=0\qquad\sum\vv{M_y}=0\qquad\sum\vv{M_z}=0$

Bir noktadaki kuvvetin momentinin (veya torkunun), kuvvetin değerinin, kuvvetten noktaya olan dik mesafeyle çarpılmasıyla hesaplandığını unutmayın.

$M=F\cdot d$

Benzer şekilde, ikinci denge koşulunun karşılanması için cismin açısal ivmesinin sıfır olması gerekir; bu, bu durumda cismin sabit bir açısal hızda dönmediği veya dönmediği anlamına gelir.

Denge koşulları örnekleri

İki denge koşulunun tanımlarını gördükten sonra, kavramı tam olarak anlamak için aşağıda günlük hayattan birkaç örnek görebileceksiniz.

Örneğin bir cisim tavana asıldığında sistem tamamen hareketsiz olduğundan vücut dengede olur. Sistemin statik dengede olduğunu da söyleyebiliriz.

Günlük yaşamdaki denge koşullarının bir başka örneği de terazidir. Denge kolu sabitlenip dönmeyi bıraktığında sistem hareketsizdir ve dolayısıyla dengededir.

Çözülmüş denge koşulları problemleri

1. Egzersiz

Aşağıdaki şekilde açıları gösterilen iki ip ile asılı duran, kütlesi 12 kg olan katı bir cisim verildiğinde, her bir ipin, cismi dengede tutmak için uygulaması gereken kuvveti hesaplayın.

Çözümü görün

Bu tür problemleri çözmek için yapmamız gereken ilk şey, şeklin serbest cisim diyagramını çizmektir:

Dengenin ilk koşulunun çözülmüş egzersizi

Asılı cisme etki eden yalnızca üç kuvvetin olduğuna dikkat edin: P ağırlığının kuvveti ve T ₁ ve T ₂ tellerinin gerilmeleri. T _1x , T _1y , T _2x ve T _2y ile temsil edilen kuvvetler sırasıyla T ₁ ve T _2’nin vektör bileşenleridir.

Böylece iplerin eğim açılarını bildiğimiz için çekme kuvvetlerinin vektör bileşenleri için ifadeler bulabiliriz:

$T_{1x}=T_1\cdot \text{cos}(20º)$

$T_{1y}=T_1\cdot \text{sin}(20º)$

$T_{2x}=T_2\cdot \text{cos}(55º)$

$T_{2y}=T_2\cdot \text{sin}(55º)$

Öte yandan yerçekimi kuvveti formülünü uygulayarak ağırlığın kuvvetini hesaplayabiliriz:

$P=m\cdot g=12\cdot 9,81 =117,72 \N$

Problem ifadesi bize vücudun dengede olduğunu, dolayısıyla dikey kuvvetlerin toplamının ve yatay kuvvetlerin toplamının sıfıra eşit olması gerektiğini söyler. Böylece kuvvet denklemlerini oluşturabilir ve bunları sıfıra eşitleyebiliriz:

$-T_{1x}+T_{2x}=0$

$T_{1y}+T_{2y}-P=0$

Şimdi kısıtlamaların bileşenlerini daha önce bulduğumuz ifadelerle değiştiriyoruz:

$-T_1\cdot\text{cos}(20º)+T_2\cdot \text{cos}(55º)=0$

$T_1\cdot \text{sin}(20º)+T_2\cdot \text{sin}(55º)-117.72=0$

Ve son olarak T ₁ ve T ₂ kuvvetlerinin değerini elde etmek için denklem sistemini çözüyoruz:

$\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117 .72=0\end{array }\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3> <p> Calculer le moment que doit faire le support de la poutre suivante pour qu’elle soit en équilibre de rotation : </p> <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png" alt="Exercice résolu de la deuxième condition d'équilibre" class="wp-image-397" width="237" height="203" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre-300x257.png 300w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png 643w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px"></figure> </div> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Pour que la poutre soit en équilibre de rotation et que la deuxième condition d’équilibre soit donc remplie, le support doit contrecarrer le moment de torsion généré par la force, donc la somme des moments sera nulle. On calcule donc le moment (ou couple) généré par la force au niveau de l’appui : [latex]M_{force}=13\cdot 9 = 117 \ Nm” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”343″ width=”3353″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$ Şimdi moment dengesi denklemini ifade ediyoruz:

$M_{support}+M_{force}=0$

Kuvveti oluşturan an ekranın içinden geçtiği için işareti negatiftir:

$M_{support}-117=0$

Ve son olarak denklemdeki bilinmeyeni çözüyoruz:

$M_{support}=117\Nm$

Elde edilen anın olumlu bir işareti vardır, dolayısıyla anlamı ekranın dışındadır.

Alıştırma 3

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi iki cisim kütleleri ihmal edilebilir bir halat ve bir makara ile birbirine bağlanmıştır. Eğer nesne 2’nin kütlesi 7 kg ise ve rampanın eğimi 50° ise, tüm sistem denge koşullarında olacak şekilde nesne 1’in kütlesini hesaplayın. Bu durumda sürtünme kuvveti ihmal edilebilir.

Çözümü görün

Cisim 1 eğimli bir eğim üzerinde olduğundan yapılacak ilk şey, kuvvetlerin eğim eksenleri üzerinde olmasını sağlamak için ağırlığının kuvvetini vektörleştirmektir:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Bu nedenle tüm sisteme etki eden kuvvetler kümesi şu şekildedir:

Problem ifadesi bize kuvvetler sisteminin dengede olduğunu, dolayısıyla iki cismin de dengede olması gerektiğini söyler. Bu bilgiden iki cismin denge denklemlerini formüle edebiliriz:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sen}(\alpha)=P_2$

Şimdi yerçekimi kuvveti formülünü uygulayıp denklemi basitleştiriyoruz:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

Son olarak verileri yerine koyuyoruz ve 1. cismin kütlesini buluyoruz:

$m_1 \cdot \text{sin}(50º) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50º)}$

$m_1=9,14\kg$

Alıştırma 4

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi 10 m’lik yatay çubuk kütlesi 8 kg olan bir cismi desteklemektedir. Destekler ile asılı cisim arasındaki mesafeler bilindiğinde, sistem dönme ve ötelenme dengesinde ise desteklerin uyguladığı kuvvetlerin değeri nedir?

Çözümü görün

Öncelikle yatay çubuğun desteklemesi gereken ağırlığı hesaplamak için yer çekimi kuvveti formülünü kullanırız:

$P=m\cdot g=8\cdot 9,81 =78,48 \ N$

Buna göre sistemin serbest cisim diyagramı şu şekildedir:

Problem ifadesi bize sistemin kuvvetler dengesinde olduğunu, dolayısıyla tüm bu kuvvetlerin toplamının sıfır olması gerektiğini söyler. Bu denge koşulunu kullanarak aşağıdaki denklemi formüle edebiliriz:

$F_A+F_B-P=0$

Öte yandan bu ifade bize aynı zamanda sistemin momentum dengesinde olduğunu da söylemektedir. Yani sistemin herhangi bir noktasındaki momentlerin toplamını dikkate alırsak sonuç sıfır olmalıdır ve iki destekten birinin referans noktasını alırsak tek bilinmeyenli bir denklem elde ederiz:

$M(A)=0$