Центр тяжести: определение, формула, примеры, свойства,...

В этой статье объясняется, что такое центр тяжести, как рассчитываются его координаты и каковы его свойства. Кроме того, вы узнаете сходства и различия между центром тяжести, центром масс и геометрическим центром.

Что такое центр тяжести?

Центр тяжести тела или системы — это точка, на которую, как считается, действует вся сила тяжести, действующая на массу указанного тела или системы.

Другими словами, центр тяжести тела — это точка приложения силы тяжести, которую Земля оказывает на это тело.

Например, центр тяжести сферы — это центр сферы. Это простой пример центра тяжести, поскольку масса сферы распределена равномерно по всему телу, но иногда необходимо провести расчет для определения центра тяжести тела, как мы увидим ниже.

В физике центр тяжести часто обозначают сокращенно CDG или CDG. Аналогично центр тяжести еще называют центром равновесия или центром равновесия.

Как вы понимаете, знание того, где находится центр тяжести системы, очень важно, например, в технике, позволяет правильно изучить баланс и устойчивость конструкции.

Как рассчитать центр тяжести

Чтобы вычислить координаты центра тяжести системы , необходимо найти сумму произведений каждой массы в системе на ее расстояние от опорной точки, а затем разделить результат на сумму всех масс.

Вам нужно использовать эту формулу дважды: один раз, чтобы найти координату X центра тяжести, и другой, чтобы найти координату Y. Итак, формулы для расчета центра тяжести:

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

Логично, что если вы работаете в трех измерениях, вам необходимо снова применить ту же формулу аналогично для координаты z.

Пример расчета центра тяжести

Учитывая определение и формулу центра тяжести, ниже приведено пошаговое упражнение, которое поможет вам увидеть, как рассчитывается центр тяжести системы.

Учитывая следующую систему с четырьмя объектами разной массы, вычислите центр тяжести системы.

В этом случае четыре геометрические фигуры системы симметричны, поэтому для расчета центра тяжести необходимо взять координаты центра каждой фигуры.

Сначала вычисляем координату X центра тяжести:

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

А затем находим координату Y центра тяжести по соответствующей ей формуле:

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

В заключение можно сказать, что центр тяжести всей системы:

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

Центр тяжести и центр масс

Разница между центром тяжести и центром массы в том, что центр тяжести — это точка приложения силы тяжести, а центр масс — это точка приложения всех внешних сил.

То есть центр тяжести — это точка, в которой считается, что действует сила, возникающая в результате замены всех сил тяжести в системе, а центр масс — это точка, в которой считается, что действует равнодействующая сила. все силы, внешние по отношению к системе.

Однако когда гравитационное поле однородно, центр тяжести совпадает с центром масс. Поэтому, поскольку гравитация на Земле практически однородна, для практических целей центр масс и центр тяжести считаются одной и той же точкой.

Центр тяжести и геометрический центр

Геометрический центр – это точка в середине геометрической фигуры. Например, геометрический центр прямоугольника — это точка пересечения его осей симметрии.

Геометрический центр тела или системы совпадает с центром масс, а значит, и с центром тяжести, когда тело имеет однородную плотность или когда распределение масс системы симметрично.

Следуя тому же примеру, геометрический центр прямоугольника — это его центр тяжести и центр масс.

Свойства центра тяжести

Центр тяжести тела обладает следующими свойствами:

Если гравитационное поле однородно, центр тяжести эквивалентен центру масс.

Следовательно, при выполнении предыдущего свойства для определения центра тяжести тела можно использовать формулу центра масс, которая состоит из следующего интеграла:

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

Все гравитационные силы, действующие на частицы системы, можно заменить одной результирующей силой величиной M·g (вес всей системы) и с точкой приложения в центре тяжести.

Любой предмет, лежащий на горизонтальном основании, будет находиться в равновесии, если воображаемая вертикальная линия, проходящая через его центр тяжести, пересекает основание.

Центр гравитации