▷ Условия равновесия

В этой статье объясняется, что такое условия равновесия. Вы найдете реальные примеры обоих состояний равновесия и, кроме того, сможете тренироваться, выполняя упражнения, решаемые шаг за шагом.

Каковы условия равновесия?

В физике условия равновесия гласят, что тело находится в равновесии, если сумма приложенных к нему сил и сумма моментов равны нулю.

Итак, есть два условия равновесия: первое условие говорит, что результирующая сила должна быть равна нулю, а второе условие говорит, что результирующий момент должен быть равен нулю.

Имейте в виду, что для того, чтобы систему можно было считать равновесной, необходимо выполнение обоих уравнений, недостаточно соблюдения только одного условия.

Первое условие баланса

Первое условие равновесия гласит, что для того, чтобы тело находилось в поступательном равновесии, сумма сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю.

По логике вещей сумма сил должна быть равна нулю по всем трем осям, если она не выполняется ни по одной оси, то тело не сбалансировано.

$\displaystyle \sum\vv{F_x}=0\qquad\sum\vv{F_y}=0\qquad\sum\vv{F_z}=0$

Кроме того, если сумма сил равна нулю, это означает, что тело не имеет линейного ускорения. Таким образом, тело, находящееся в поступательном равновесии, может находиться в покое (нулевая скорость) или двигаться с постоянной линейной скоростью.

Отсюда можно выделить два типа поступательного равновесия:

Статическое поступательное равновесие : когда выполнено первое условие равновесия и тело также находится в состоянии покоя.
Динамическое поступательное равновесие : когда выполняется первое условие равновесия и тело имеет постоянную скорость (отличную от нуля).

Второе условие равновесия

Второе условие равновесия аналогично первому условию равновесия, но вместо сил используются моменты.

Второе условие равновесия гласит, что если сумма моментов тела равна нулю, то тело находится во вращательном равновесии.

Аналогично сумма моментов должна быть равна нулю во всех осях рамки, иначе второе условие равновесия не выполняется.

$\displaystyle \sum\vv{M_x}=0\qquad\sum\vv{M_y}=0\qquad\sum\vv{M_z}=0$

Помните, что момент (или крутящий момент) силы в точке рассчитывается путем умножения значения силы на перпендикулярное расстояние от силы до точки.

$M=F\cdot d$

Аналогично, для выполнения второго условия равновесия угловое ускорение тела должно быть равно нулю, а это означает, что в этом состоянии тело не вращается или вращается с постоянной угловой скоростью.

Примеры условий равновесия

Увидев определения двух условий равновесия, вы сможете увидеть ниже несколько примеров из повседневной жизни, чтобы полностью понять концепцию.

Например, когда тело подвешено к потолку, оно находится в равновесии, поскольку система полностью покоится. Можно также сказать, что система находится в статическом равновесии.

Еще одним примером условий равновесия в повседневной жизни являются весы. Когда балансир стабилизируется и перестает вращаться, система находится в состоянии покоя и, следовательно, также в равновесии.

Решенные задачи об условиях равновесия

Упражнение 1

Дано твердое тело массой 12 кг, подвешенное на двух веревках, углы которых показаны на следующем рисунке. Рассчитайте силу, которую должна оказывать каждая веревка, чтобы удерживать тело в равновесии.

Посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать для решения такого типа задач, — это нарисовать схему свободного тела фигуры:

Решенное упражнение первого условия равновесия

Обратите внимание, что на самом деле на подвешенное тело действуют только три силы: сила груза P и натяжение струн T ₁ и T ₂ . Силы, представленные T _1x , T _1y , T _2x и T _2y , являются векторными компонентами T ₁ и T ₂ соответственно.

Таким образом, зная углы наклона струн, мы можем найти выражения для векторных составляющих сил натяжения:

$T_{1x}=T_1\cdot \text{cos}(20º)$

$T_{1y}=T_1\cdot \text{sin}(20º)$

$T_{2x}=T_2\cdot \text{cos}(55º)$

$T_{2y}=T_2\cdot \text{sin}(55º)$

С другой стороны, мы можем рассчитать силу груза, применив формулу силы гравитации:

$P=m\cdot g=12\cdot 9,81 =117,72 \N$

Постановка задачи говорит нам, что тело находится в равновесии, поэтому сумма вертикальных сил и сумма горизонтальных сил должны равняться нулю. Таким образом, мы можем составить уравнения сил и приравнять их нулю:

$-T_{1x}+T_{2x}=0$

$T_{1y}+T_{2y}-P=0$

Теперь заменим компоненты ограничений их выражениями, найденными ранее:

$-T_1\cdot\text{cos}(20º)+T_2\cdot \text{cos}(55º)=0$

$T_1\cdot \text{sin}(20º)+T_2\cdot \text{sin}(55º)-117.72=0$

И, наконец, решаем систему уравнений, чтобы получить значение сил Т ₁ и Т ₂ :

$\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117 .72=0\end{array }\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3> <p> Calculer le moment que doit faire le support de la poutre suivante pour qu’elle soit en équilibre de rotation : </p> <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png" alt="Exercice résolu de la deuxième condition d'équilibre" class="wp-image-397" width="237" height="203" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre-300x257.png 300w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png 643w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px"></figure> </div> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Pour que la poutre soit en équilibre de rotation et que la deuxième condition d’équilibre soit donc remplie, le support doit contrecarrer le moment de torsion généré par la force, donc la somme des moments sera nulle. On calcule donc le moment (ou couple) généré par la force au niveau de l’appui : [latex]M_{force}=13\cdot 9 = 117 \ Nm» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»343″ width=»3353″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> <p class=$ А теперь сформулируем уравнение баланса моментов:

$M_{support}+M_{force}=0$

Момент, создающий силу, проходит внутри экрана, поэтому его знак отрицательный:

$M_{support}-117=0$

И, наконец, решаем неизвестное в уравнении:

$M_{support}=117\Nm$

Полученный момент имеет положительный знак, поэтому его смысл находится за пределами экрана.

Упражнение 3

Как показано на следующем рисунке, два объекта соединены веревкой и блоком незначительной массы. Если объект 2 имеет массу 7 кг и наклон пандуса 50°, рассчитайте массу объекта 1 так, чтобы вся система находилась в равновесном состоянии. В этом случае силой трения можно пренебречь.

Посмотреть решение

Тело 1 находится на наклонном склоне, поэтому первое, что нужно сделать, это векторизовать силу его веса, чтобы силы находились на осях уклона:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Таким образом, совокупность сил, действующих на всю систему, равна:

Решенное упражнение на поступательное равновесие

Постановка задачи говорит нам, что система сил находится в равновесии, поэтому два тела должны находиться в равновесии. На основе этой информации мы можем сформулировать уравнения равновесия двух тел:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sen}(\alpha)=P_2$

Теперь применим формулу гравитационной силы и упростим уравнение:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

Наконец, подставляем данные и находим массу тела 1:

$m_1 \cdot \text{sin}(50º) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50º)}$

$m_1=9,14\kg$

Упражнение 4

Как видно на следующем рисунке, турник длиной 10 м поддерживает тело массой 8 кг. Зная расстояния между опорами и подвешенным телом, какова величина сил, действующих на опоры, если система находится в равновесии вращения и поступательного движения?

Посмотреть решение

Сначала мы используем формулу силы гравитации, чтобы рассчитать вес, который должен выдерживать турник:

$P=m\cdot g=8\cdot 9,81 =78,48 \ N$

Таким образом, диаграмма свободного тела системы:

решенное упражнение на вращательное равновесие

Постановка задачи говорит нам, что система находится в равновесии сил, поэтому сумма всех этих сил должна быть равна нулю. Используя это условие равновесия, мы можем сформулировать следующее уравнение:

$F_A+F_B-P=0$

С другой стороны, это утверждение также говорит нам, что система находится в равновесии по импульсу. Итак, если мы рассмотрим сумму моментов в любой точке системы, результат должен быть нулевым, а если мы возьмем за опорную точку одну из двух опор, мы получим уравнение с одним неизвестным:

$M(A)=0$