В этой статье объясняется, что такое стоячие волны в физике. Так вы узнаете уравнение стоячих волн, каковы характеристики стоячих волн и, кроме того, какие бывают виды стоячих волн.
Что такое стоячая волна?
Стоячая волна — это колебательное возмущение, пики которого колеблются вертикально, но не распространяются в продольном направлении. Стоячие волны являются результатом интерференции двух или более волн, которая состоит из суперпозиции волн, имеющих одинаковые характеристики, но движущихся в противоположных направлениях.
В большинстве случаев стоячие волны вызваны физическим явлением резонанса, когда между волной и ее отраженной волной в среде резонатора возникает интерференция волн.
Например, когда мы прикрепляем эластичную веревку к стене с одного конца и вибрируем веревку, возникает стоячая волна. Струна колеблется, и вибрации отражаются от неподвижного конца струны, поэтому две волны накладываются и образуется стоячая волна.
На графике выше изображена стоячая волна (красная волна) вместе с волнами, которые перекрываются, образуя стоячую волну (зеленая и синяя волны). Как видите, зеленая волна движется вправо, синяя волна движется влево, и наоборот, стоячая волна не движется горизонтально, а только колеблется вертикально.
Стоячие волны впервые описал в 1831 году английский физик Майкл Фарадей. Однако название «стоячая волна» придумал в 1860 году немецкий физик Франц Мельде.
Уравнение стоячей волны
Уравнение стационарной волны представляет собой удвоенную амплитуду исходных волн, умноженную на произведение синуса волнового числа, умноженного на удлинение, и косинуса угловой частоты, умноженного на время. Итак , уравнение стоячей волны имеет вид y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .
Золото:
-
– удлинение исследуемой точки стоячей волны.
-
– амплитуда исходных волн.
-
это волновое число.
-
– положение исследуемой точки стоячей волны.
-
– угловая частота или частота пульсации.
-
это момент времени.
Примечание. Существует несколько способов выражения уравнения стоячей волны, поэтому в зависимости от книги вы можете найти немного другое уравнение. Однако в физике наиболее часто используемое уравнение стоячей волны представлено в этой статье.
Отметим, что волновое число и угловая частота стоячей волны рассчитываются по следующим формулам:
![\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd9a9c86ac7bfe615da6e49025b8b40f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Золото:
-
это волновое число.
-
— длина волны, то есть расстояние между двумя эквивалентными точками стоячей волны.
-
– угловая частота или частота пульсации.
-
— это период, определяемый как время между тем, когда волна проходит через точку, и когда она снова проходит через эквивалентную точку.
-
– частота, которая представляет собой количество колебаний волны в единицу времени.
Даны две волны распространения, определяемые следующими уравнениями:
![\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da9c518dd5d8c55b8ec331431c3b4198_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Стоячая волна представляет собой сумму двух колебательных волн, поэтому уравнение стоячей волны будет суммой двух предыдущих уравнений:
![\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a035d8a9e422ca3984acb2bd87f96f0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Затем применим следующие тригонометрические формулы:
Таким образом, применяя предыдущие тригонометрические формулы, приходим к уравнению стоячих волн:
![\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8137cf4db2e711b343e2ee3226bcdfe2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Узлы и пучности стоячей волны.
Любая стоячая волна состоит из узлов и пучностей, определяемых следующим образом:
- Узлы : точки стоячей волны, удлинение которых минимально (y=0). Эти точки совершенно неподвижны, так как не перемещаются ни по горизонтали, ни по вертикали.
- Брюшки (или животы) : это точки стоячей волны, удлинение которых максимально (y=2A или y=-2A). Эти точки колеблются вертикально от удлинения y=2A до y=-2A.
Стоячие волны с фиксированными обоими концами
Когда стоячие волны генерируются с фиксированными обоими концами, это означает, что концы волны являются узлами. Этот тип стоячих волн осуществляется в закрытых с обеих сторон трубах или с помощью вибрирующих веревок, прикрепленных к концам.
Например, когда мы вибрируем струны гитары, мы генерируем стоячие волны, два конца которых фиксированы.
В этом случае длина волны и частота стоячей волны определяются следующими формулами:
![\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a602b1c2e671ce2b9f7ec1702c3e91df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Золото:
-
это длина волны.
-
это длина строки.
-
— номер гармоники (n=1, 2, 3, 4…).
-
— естественная или гармоническая частота.
-
– скорость распространения волны.
Как вы можете видеть на изображении выше, количество пучностей и количество узлов зависят от номера гармоники. Число пучностей стоячей волны с обоими закрепленными концами эквивалентно номеру гармоники, а количество узлов равно числу гармоники плюс один.
Стоячие волны со свободными обоими концами
Наконец, стоячие волны также могут иметь оба конца свободными , так что оба конца стоячей волны являются пучностями.
Стоячие волны такого типа возникают во многих духовых инструментах, поскольку оба их конца открыты.
Длина волны и частота стоячей волны с открытыми обоими концами рассчитываются по следующим формулам:
![\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cacd0cbaa519db536382349834eb0142_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Золото:
-
это длина волны.
-
это длина строки.
-
— номер гармоники (n=1, 2, 3, 4…).
-
— естественная или гармоническая частота.
-
— скорость распространения волны.
Если вы посмотрите на изображение выше, эти типы стоячих волн имеют столько узлов, сколько число гармоник. Напротив, количество пучностей этого класса стоячих волн равно числу гармоник плюс один.
Стоячие волны с одним фиксированным концом и одним свободным концом.
Когда волна распространяется в среде, в которой один конец закреплен, а другой свободен , это означает, что один конец волны будет узлом, а другой конец волны будет пучностью.
Эти типы стоячих волн встречаются во многих музыкальных инструментах, например, волны, генерируемые трубой, флейтой или кларнетом, имеют один фиксированный конец, через который музыкант дует, и другой свободный конец, через который музыкант дует. Инструмент.
В этом случае длину и частоту стоячей волны можно рассчитать по следующим формулам:
![\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79cd7218a7a133578e1c7cdf3b6b21f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Золото:
-
это длина волны.
-
это длина строки.
-
– параметр, определяющий номер гармоники (n=1, 2, 3, 4…).
-
— естественная или гармоническая частота.
-
— скорость распространения волны.
Примечание: имейте в виду, что в этом случае существуют только нечетные гармоники (1, 3, 5, 7…), потому что в этом типе стоячих волн возможно генерирование только нечетных кратных основной частоты.
В этом случае стоячая волна имеет такое же количество узлов, как и пучностей. Конкретно, стоячая волна имеет столько узлов и столько пучностей, сколько значение параметра n гармоники: