▷ Наклонная плоскость (физика): решены формулы и упражнения.

В этой статье объясняется, что такое наклонные плоскости в физике и как решаются задачи такого типа. Вы найдете формулы для сил, действующих на наклонной плоскости, а также сможете тренироваться, выполняя упражнения, пошагово решаемые на наклонной плоскости.

Что такое наклонная плоскость?

Наклонная плоскость – это поверхность, наклоненная на определенный угол. В физике наклонная плоскость используется для отработки задач на прочность.

Например, пандус или наклонная дорога представляют собой наклонные плоскости.

Наклонная плоскость позволяет транспортировать предмет с меньшими усилиями. Так как для толкания предмета по наклонной плоскости требуется меньшая сила, чем для поднятия его вертикально.

Также наклонная плоскость считается одной из шести классических простых машин.

Формулы наклонной плоскости

Теперь, когда мы знаем определение наклонной плоскости, давайте посмотрим, какие формулы действуют на наклонной плоскости и какие уравнения их связывают.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при упражнениях на наклонной плоскости, заключается в том, что большая часть сил действует в направлении, параллельном или перпендикулярном наклонной плоскости. Таким образом, типичные оси координат (одна вертикальная ось и одна горизонтальная ось) не очень полезны для решения подобных задач. Именно поэтому в наклонных плоскостях мы вообще работаем с другой системой координат:

В физике для решения задачи о наклонной плоскости мы используем две разные оси: первую ось, направление которой параллельно наклонной плоскости, и, с другой стороны, вторую ось, направление которой перпендикулярно наклонной плоскости.

Кроме того, как вы можете видеть на изображении, на наклонную плоскость обычно действуют три разные силы (если есть трение): сила веса, нормальная сила и сила трения (или сила трения). Но по логике вещей, если на наклонной плоскости нет трения, то силой трения пренебрегают.

Однако сила веса векторно разлагается на две составляющие: составляющую, параллельную наклонной плоскости, и другую составляющую, перпендикулярную наклонной плоскости. Таким образом, все силы могут быть выражены в рабочих осях наклонной плоскости. Таким образом, две составляющие веса тела, лежащего на наклонной плоскости, вычисляются по синусу и косинусу угла наклона:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Наконец, силы, действующие на наклонную плоскость, можно связать следующими двумя формулами:

Заметим, что, если в постановке задачи не указано иное, тело, находящееся на наклонной плоскости, могло бы соскользнуть со склона, поэтому в уравнение для оси, параллельной плоскости, включено возможное ускорение. С другой стороны, тело не может двигаться в направлении оси, перпендикулярной наклонной плоскости, поэтому сумма сил равна нулю.

Решенный пример наклонной плоскости

Чтобы вы могли увидеть, как решаются задачи с наклонной плоскостью в физике, ниже вы можете увидеть пошагово решаемый пример.

Поместим тело массой m=6 кг на вершину плоскости, наклоненной под углом 45°. Если тело скользит по наклонной плоскости с ускорением 4 м/с ² , каков коэффициент динамического трения между поверхностью наклонной плоскости и поверхностью тела? Данные: g=10 м/с ² .

проблема коэффициента трения или динамического трения

Первое, что нам нужно сделать для решения любой физической задачи, касающейся динамики, — это нарисовать диаграмму свободного тела. Итак, все силы, действующие на систему, равны:

решенное упражнение на коэффициент трения или динамическое трение

В направлении оси 1 (параллельно наклонной плоскости) тело испытывает ускорение, однако в направлении оси 2 (перпендикулярно наклонной плоскости) тело покоится. На основе этой информации установим уравнения сил системы:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

Итак, мы можем вычислить нормальную силу из второго уравнения:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

С другой стороны, мы вычисляем значение силы трения (или силы трения) из первого представленного уравнения:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

И как только мы узнаем значение нормальной силы и силы трения, мы сможем определить динамический коэффициент трения, используя соответствующую формулу:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Упражнения, решаемые на наклонной плоскости.

Упражнение 1

Поместим тело массой m=2 кг на вершину наклонной плоскости с углом наклона 30°. Каков коэффициент трения между пандусом и кузовом, если последний остается в равновесии? Данные: g=9,81 м/с ²

Посмотреть решение

Как и в любой физической задаче, связанной с силами, первое, что нужно сделать, — это нарисовать диаграмму свободного тела системы. Итак, всеми силами, действующими в этой системе, являются:

разрешить применение нормальной силы и силы трения

Итак, чтобы система находилась в равновесии, сумма сил по осям 1 и 2 должна быть равна нулю. Следовательно, справедливы следующие уравнения:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

Теперь мы можем вычислить значение нормальной силы из второго уравнения:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

С другой стороны, величину силы трения определяем по первому уравнению:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Аналогичным образом, сила трения может быть связана с нормальной силой и коэффициентом трения по следующей формуле:

$F_R=\mu \cdot N$

Поэтому мы решаем коэффициент трения из уравнения и вычисляем его значение:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Упражнение 2

Как мы видим в следующей системе, образованной наклонной плоскостью и шкивом, два тела соединены веревкой и шкивом ничтожных масс. Если тело 2 имеет массу m ₂ = 7 кг и наклон пандуса равен 50°, вычислите нормальную силу, которую наклонная плоскость оказывает на тело массы m ₁ , чтобы вся система находилась в равновесии. Пренебрегайте силой трения на протяжении всего упражнения.

Посмотреть решение

Тело 1 находится на наклонном склоне, поэтому первое, что нужно сделать, это векторизовать силу его веса, чтобы силы находились на осях уклона:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Таким образом, совокупность сил, действующих на всю систему, равна:

Упражнение на поступательный баланс решено

Постановка задачи говорит нам, что система сил находится в равновесии, поэтому два тела должны находиться в равновесии. На основе этой информации мы можем предложить уравнения равновесия двух тел:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

Из предыдущего уравнения мы можем рассчитать массу тела 1:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

С другой стороны, если мы посмотрим на силовую диаграмму системы, то увидим, что нормальная сила должна быть равна векторной составляющей веса тела 1, перпендикулярной наклонной плоскости.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Итак, из этого уравнения можно найти значение нормальной силы:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»213″ width=»8731″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

Из второго уравнения можно рассчитать нормальную силу, действующую на салазки.

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Поскольку теперь мы знаем значение нормальной силы и коэффициента динамического трения, мы можем рассчитать силу трения, применив соответствующую формулу:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Итак, чтобы определить конечную скорость, мы должны сначала найти ускорение саней, а его можно рассчитать из первого представленного уравнения силы:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Зная ускорение саней, мы вычисляем время, необходимое для прохождения 20 метров, с помощью уравнения прямолинейного движения при постоянном ускорении:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Логично, что мы исключаем отрицательное решение, поскольку время — физическая величина, которая не может быть отрицательной.

Наконец, мы вычисляем конечную скорость, используя формулу постоянного ускорения:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$