▷ Plano inclinado (física): fórmulas e exercícios resolvidos

Este artigo explica o que são planos inclinados na física e como problemas desse tipo são resolvidos. Você encontrará as fórmulas das forças que atuam em um plano inclinado e, além disso, poderá treinar com exercícios resolvidos passo a passo no plano inclinado.

O que é um plano inclinado?

Um plano inclinado é uma superfície inclinada em um determinado ângulo. Na física, o plano inclinado é usado para praticar problemas de força.

Por exemplo, uma rampa ou uma estrada inclinada são planos inclinados.

O plano inclinado permite transportar um objeto usando menos força. Já que empurrar um objeto em um plano inclinado requer menos força do que levantá-lo verticalmente.

Além disso, o plano inclinado é considerado uma das seis máquinas simples clássicas.

Fórmulas de plano inclinado

Agora que sabemos a definição de plano inclinado, vamos ver quais fórmulas atuam em um plano inclinado e quais equações as conectam.

O primeiro problema que encontramos nos exercícios de plano inclinado é que a maioria das forças atua numa direção paralela ou perpendicular ao plano inclinado. Portanto, os eixos coordenados típicos (um eixo vertical e um eixo horizontal) não são muito úteis para estes tipos de problemas. É por isso que, em geral, em planos inclinados trabalhamos com um sistema de coordenadas diferente:

Em física, para resolver um problema de plano inclinado, utilizamos dois eixos diferentes: um primeiro eixo cuja direção é paralela ao plano inclinado e, por outro lado, um segundo eixo cuja direção é perpendicular ao plano inclinado.

Além disso, como você pode ver na imagem, geralmente três forças diferentes atuam em um plano inclinado (se houver atrito): a força peso, a força normal e a força de atrito (ou força de atrito). Mas logicamente, se não houver atrito no plano inclinado, a força de atrito é desprezada.

Porém, a força do peso é decomposta vetorialmente em duas componentes: uma componente paralela ao plano inclinado e outra componente perpendicular ao plano inclinado. Desta forma todas as forças podem ser expressas nos eixos de trabalho do plano inclinado. Assim, os dois componentes do peso do corpo apoiado no plano inclinado são calculados pelo seno e pelo cosseno do ângulo de inclinação:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Finalmente, as forças que atuam num plano inclinado podem ser relacionadas pelas duas fórmulas seguintes:

Observe que, se a definição do problema não disser o contrário, o corpo no plano inclinado poderia deslizar pela encosta, razão pela qual uma possível aceleração está incluída na equação do eixo paralelo ao plano. Por outro lado, o corpo não pode se mover na direção do eixo perpendicular ao plano inclinado, portanto a soma das forças é zero.

Exemplo resolvido do plano inclinado

Para que você possa ver como os problemas de planos inclinados são resolvidos na física, você pode ver abaixo um exemplo resolvido passo a passo.

Colocamos um corpo de massa m=6 kg no topo de um plano inclinado de 45º. Se o corpo desliza sobre o plano inclinado com uma aceleração de 4 m/s ² , qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre a superfície do plano inclinado e a do corpo? Dados: g=10 m/s ² .

problema do coeficiente de atrito ou atrito dinâmico

A primeira coisa que precisamos fazer para resolver qualquer problema de física relacionado à dinâmica é desenhar o diagrama de corpo livre. Então, todas as forças que atuam no sistema são:

exercício resolvido do coeficiente de atrito ou atrito dinâmico

No sentido do eixo 1 (paralelo ao plano inclinado) o corpo apresenta uma aceleração, porém, no sentido do eixo 2 (perpendicular ao plano inclinado) o corpo está em repouso. A partir dessas informações, estabelecemos as equações das forças do sistema:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

Então, podemos calcular a força normal a partir da segunda equação:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

Por outro lado, calculamos o valor da força de atrito (ou força de atrito) a partir da primeira equação apresentada:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

E uma vez conhecido o valor da força normal e da força de atrito, podemos determinar o coeficiente de atrito dinâmico usando sua fórmula correspondente:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Exercícios resolvidos no plano inclinado

Exercício 1

Colocamos um corpo de massa m=2 kg no topo de um plano inclinado com ângulo de inclinação de 30º. Qual é o coeficiente de atrito entre a rampa e o corpo se este permanecer em equilíbrio? Dados: g=9,81 m/s ²

Veja a solução

Como em qualquer problema de física que envolva forças, a primeira coisa a fazer é desenhar o diagrama de corpo livre do sistema. Então, todas as forças que atuam neste sistema são:

resolver o exercício de força normal e força de atrito

Assim, para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças nos eixos 1 e 2 deve ser igual a zero. Portanto, as seguintes equações são verdadeiras:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

Agora podemos calcular o valor da força normal a partir da segunda equação:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

Por outro lado, determinamos o valor da força de atrito usando a primeira equação:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Da mesma forma, a força de atrito pode ser relacionada à força normal e ao coeficiente de atrito usando a seguinte fórmula:

$F_R=\mu \cdot N$

Portanto, resolvemos o coeficiente de atrito da equação e calculamos seu valor:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Exercício 2

Como vemos no seguinte sistema formado por um plano inclinado e uma polia, dois corpos estão ligados por uma corda e uma polia de massas desprezíveis. Se o corpo 2 tem massa m ₂ = 7 kg e a inclinação da rampa é de 50º, calcule a força normal que o plano inclinado exerce sobre o corpo de massa m ₁ para que todo o sistema fique em equilíbrio. Despreze a força de atrito durante todo o exercício.

Veja a solução

O corpo 1 está em um declive inclinado, então a primeira coisa a fazer é vetorizar a força do seu peso para ter as forças nos eixos do declive:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Assim, o conjunto de forças que atuam em todo o sistema é:

exercício de equilíbrio translacional resolvido

A definição do problema diz-nos que o sistema de forças está em equilíbrio, portanto os dois corpos devem estar em equilíbrio. A partir dessas informações podemos propor as equações de equilíbrio dos dois corpos:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

A partir da equação anterior, podemos calcular a massa do corpo 1:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

Por outro lado, se olharmos o diagrama de forças do sistema, observamos que a força normal deve ser igual à componente vetorial do peso do corpo 1 perpendicular ao plano inclinado.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Então, a partir desta equação podemos encontrar o valor da força normal:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

A partir da segunda equação podemos calcular a força normal que atua no trenó

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Como agora sabemos o valor da força normal e o coeficiente de atrito dinâmico, podemos calcular a força de atrito aplicando a fórmula correspondente:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Assim, para determinar a velocidade final, devemos primeiro encontrar a aceleração do trenó, e esta pode ser calculada a partir da primeira equação de força apresentada:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Uma vez conhecida a aceleração do trenó, calculamos o tempo que leva para percorrer os 20 metros com a equação do movimento retilíneo em aceleração constante:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Logicamente, excluímos a solução negativa, pois o tempo é uma quantidade física que não pode ser negativa.

Finalmente, calculamos a velocidade final usando a fórmula de aceleração constante:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$