▷ Ondas estacionárias

Este artigo explica o que são ondas estacionárias na física. Então você encontrará a equação das ondas estacionárias, quais são as características das ondas estacionárias e, além disso, quais são os diferentes tipos de ondas estacionárias.

O que é uma onda estacionária?

Uma onda estacionária é uma perturbação oscilatória cujos picos oscilam verticalmente, mas não avançam longitudinalmente. As ondas estacionárias são o resultado da interferência entre duas ou mais ondas, que consiste na superposição de ondas com as mesmas características, mas movendo-se em direções opostas.

Na maioria dos casos, as ondas estacionárias são causadas pelo fenômeno físico da ressonância, de modo que a interferência onda a onda ocorre entre uma onda e sua onda refletida em um meio ressonador.

Por exemplo, quando prendemos uma corda elástica a uma parede em uma das extremidades e vibramos a corda, uma onda estacionária é produzida. A corda oscila e as vibrações são refletidas na extremidade fixa da corda, portanto as duas ondas se sobrepõem e uma onda estacionária é formada.

O gráfico acima mostra uma onda estacionária (onda vermelha) junto com as ondas que se sobrepõem para formar a onda estacionária (ondas verdes e azuis). Como você pode ver, a onda verde se move para a direita, a onda azul se move para a esquerda e, inversamente, a onda estacionária não se move horizontalmente, mas apenas vibra verticalmente.

As ondas estacionárias foram descritas pela primeira vez em 1831 pelo físico inglês Michael Faraday. No entanto, o nome “onda estacionária” foi cunhado em 1860 pelo físico alemão Franz Melde.

Equação de uma onda estacionária

A equação para um estacionário é o dobro da amplitude das ondas originais vezes o produto do seno do número da onda vezes o alongamento e o cosseno da frequência angular vezes o tempo. Portanto , a equação para uma onda estacionária é y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .

$y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)$

Ouro:

$y$

é o alongamento do ponto estudado da onda estacionária.
$A$

é a amplitude das ondas originais.
$k$

é o número de onda.
$x$

é a posição do ponto estudado da onda estacionária.
$\omega$

é a frequência angular ou de pulsação.
$t$

é o momento do tempo.

Nota: Existem várias maneiras de expressar a equação da onda estacionária, portanto, dependendo do livro, você poderá encontrar uma equação um pouco diferente. Porém, em física, a equação de onda estacionária mais utilizada é a apresentada neste artigo.

Observe que o número de onda e a frequência angular de uma onda estacionária são calculados usando as seguintes fórmulas:

$\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}$

Ouro:

$k$

é o número de onda.
$\lambda$

é o comprimento de onda, ou seja, a distância entre dois pontos equivalentes da onda estacionária.
$\omega$

é a frequência angular ou de pulsação.
$T$

é o período definido como o tempo entre o momento em que a onda passa por um ponto e quando ela passa novamente por um ponto equivalente.
$f$

é a frequência, que é o número de oscilações da onda por unidade de tempo.

Veja a demonstração da equação de uma onda estacionária

Dadas duas ondas de propagação definidas pelas seguintes equações:

$\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

A onda estacionária é a soma das duas ondas oscilatórias, então a equação da onda estacionária será a soma das duas equações anteriores:

$\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

Aplicaremos então as seguintes fórmulas trigonométricas:

$\displaystyle\text{sin}(A)+\text{sin}(B)=2\cdot \text{sin}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\ texte{cos}\left(\frac{AB}{2}\right)$

$\text{cos}(-A)=\text{cos}(A)$

Assim, aplicando as fórmulas trigonométricas anteriores chegamos à equação das ondas estacionárias:

$\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}$

Nós e antinodos de uma onda estacionária

Qualquer onda estacionária é composta por nós e antinodos, definidos da seguinte forma:

Nós : são os pontos da onda estacionária cujo alongamento é mínimo (y=0). Esses pontos são completamente estacionários, pois não se movem horizontalmente nem verticalmente.
Barrigas (ou barrigas) : são os pontos da onda estacionária cujo alongamento é máximo (y = 2A ou y = -2A). Esses pontos oscilam verticalmente do alongamento y=2A a y=-2A.

Nós e antinodos de uma onda estacionária

Ondas estacionárias com ambas as extremidades fixas

Quando ondas estacionárias são geradas com ambas as extremidades fixas, significa que as extremidades da onda são nós. Este tipo de ondas estacionárias é realizada em tubos fechados em ambos os lados ou por cordas vibratórias fixadas nas extremidades.

Por exemplo, quando vibramos as cordas de um violão, geramos ondas estacionárias cujas duas pontas são fixas.

Neste caso, o comprimento de onda e a frequência da onda estacionária são definidos pelas seguintes fórmulas:

$\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}$

Ouro:

$\lambda$

é o comprimento de onda.
$L$

é o comprimento da string.
$n$

é o número harmônico (n=1, 2, 3, 4…).
$f$

é a frequência natural ou harmônica.
$v$

é a velocidade de propagação da onda.

harmônicos de ondas estacionárias com ambas as extremidades fixas.png

Como você pode ver na imagem acima, o número de antinodos e o número de nós dependem do número harmônico. O número de antinodos de uma onda estacionária com ambas as extremidades fixas é equivalente ao número harmônico, enquanto o número de nós é o número harmônico mais um.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n+1$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

Ondas estacionárias com ambas as extremidades livres

Finalmente, as ondas estacionárias também podem ter ambas as extremidades livres , de modo que ambas as extremidades da onda estacionária são antinodos.

Esses tipos de ondas estacionárias são gerados em muitos instrumentos de sopro porque ambas as extremidades deles estão abertas.

O comprimento de onda e a frequência de uma onda estacionária com ambas as extremidades abertas são calculados usando as seguintes fórmulas:

$\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}$

Ouro:

$\lambda$

é o comprimento de onda.
$L$

é o comprimento da string.
$n$

é o número harmônico (n=1, 2, 3, 4…).
$f$

é a frequência natural ou harmônica.
$v$

é a velocidade de propagação da onda.

ondas estacionárias com ambas as extremidades livres

Se você olhar a imagem acima, verá que esses tipos de ondas estacionárias têm tantos nós quanto o número harmônico. Em contraste, o número de antinodos desta classe de ondas estacionárias é o número harmônico mais um.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n+1$

Ondas estacionárias com uma extremidade fixa e uma extremidade livre

Quando a onda se propaga num meio em que uma extremidade é fixa e a outra livre , isso implica que uma extremidade da onda será um nó e a outra extremidade da onda será um antinó.

Estes tipos de ondas estacionárias ocorrem em muitos instrumentos musicais, por exemplo, as ondas geradas num trompete, flauta ou clarinete têm uma extremidade fixa, através da qual o músico sopra, e outra extremidade livre, através da qual o músico sopra. O instrumento.

Neste caso, o comprimento e a frequência da onda estacionária podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:

$\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}$

Ouro:

$\lambda$

é o comprimento de onda.
$L$

é o comprimento da string.
$n$

é o parâmetro que determina o número harmônico (n=1, 2, 3, 4…).
$f$

é a frequência natural ou harmônica.
$v$

é a velocidade de propagação da onda.

Nota: tenha em mente que neste caso só existem harmônicos ímpares (1, 3, 5, 7…), pois neste tipo de ondas estacionárias só é possível gerar múltiplos ímpares da frequência fundamental.

ondas estacionárias com extremidade fixa e extremidade livre

Neste caso, a onda estacionária possui o mesmo número de nós que os antinodos. Concretamente, a onda estacionária tem tantos nós e tantos antinodos quanto o valor do parâmetro n do harmônico:

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

Onda parada

O que é uma onda estacionária?

Equação de uma onda estacionária

Nós e antinodos de uma onda estacionária

Ondas estacionárias com ambas as extremidades fixas

Ondas estacionárias com ambas as extremidades livres

Ondas estacionárias com uma extremidade fixa e uma extremidade livre

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