Zwaartepunt: definitie, formule, voorbeelden, eigenschappen,...

In dit artikel wordt uitgelegd wat het zwaartepunt is, hoe de coördinaten ervan worden berekend en wat de eigenschappen ervan zijn. Bovendien leer je de overeenkomsten en verschillen tussen het zwaartepunt, het massamiddelpunt en het geometrische centrum.

Wat is het zwaartepunt?

Het zwaartepunt van een lichaam of systeem is het punt waarop wordt aangenomen dat de gehele zwaartekracht die op de massa van dat lichaam of systeem inwerkt, invloed heeft.

Met andere woorden: het zwaartepunt van een lichaam is het aangrijpingspunt van de zwaartekracht die de aarde op dat lichaam uitoefent.

Het zwaartepunt van een bol is bijvoorbeeld het middelpunt van de bol. Dit is een eenvoudig voorbeeld van een zwaartepunt, aangezien de massa van een bol gelijkmatig over het lichaam is verdeeld, maar soms moet er een berekening worden uitgevoerd om het zwaartepunt van een lichaam te bepalen, zoals we hieronder zullen zien.

In de natuurkunde wordt het zwaartepunt vaak afgekort als cdg of CDG. Op dezelfde manier wordt het zwaartepunt ook wel het evenwichtscentrum of evenwichtscentrum genoemd.

Zoals u zich kunt voorstellen, is het erg belangrijk om te weten waar het zwaartepunt van een systeem ligt in de techniek. Zo kunt u bijvoorbeeld de balans en stabiliteit van een constructie correct bestuderen.

Hoe het zwaartepunt te berekenen

Om de coördinaten van het zwaartepunt van een systeem te berekenen , moet je de som van de producten van elke massa in het systeem vinden op basis van de afstand tot een referentiepunt, en het resultaat vervolgens delen door de som van alle massa’s.

U moet deze formule twee keer gebruiken: één keer om de X-coördinaat van het zwaartepunt te vinden en één keer om de Y-coördinaat te vinden. De formules om het zwaartepunt te berekenen zijn dus:

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

Als u in drie dimensies werkt, moet u logischerwijs dezelfde formule opnieuw analoog toepassen voor de z-coördinaat.

Voorbeeld van het berekenen van het zwaartepunt

Gezien de definitie en formule voor het zwaartepunt, vindt u hieronder een stap-voor-stap oefening om te zien hoe het zwaartepunt van een systeem wordt berekend.

Gegeven het volgende systeem met vier objecten met verschillende massa’s, bereken dan het zwaartepunt van het systeem.

In dit geval zijn de vier geometrische figuren van het systeem symmetrisch. Daarom is het noodzakelijk om de coördinaten van het middelpunt van elke figuur te nemen om het zwaartepunt te berekenen.

Eerst berekenen we de X-coördinaat van het zwaartepunt:

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

En dan vinden we de Y-coördinaat van het zwaartepunt met de bijbehorende formule:

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

Concluderend is het zwaartepunt van het hele systeem:

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

Zwaartepunt en massamiddelpunt

Het verschil tussen het zwaartepunt en het massamiddelpunt is dat het zwaartepunt het aangrijpingspunt is van de zwaartekracht, terwijl het massamiddelpunt het aangrijpingspunt is van alle externe krachten.

Dat wil zeggen, het zwaartepunt is het punt waarop de kracht die voortkomt uit het vervangen van alle zwaartekrachtkrachten in een systeem wordt geacht te werken, terwijl het massamiddelpunt het punt is waarop de resulterende kracht wordt geacht te werken. alle krachten buiten het systeem.

Wanneer het zwaartekrachtveld echter uniform is, valt het zwaartepunt samen met het massamiddelpunt. Omdat de zwaartekracht op aarde vrijwel uniform is, worden het massamiddelpunt en het zwaartepunt voor praktische doeleinden als hetzelfde punt beschouwd.

Zwaartepunt en geometrisch centrum

Het geometrische middelpunt is het punt in het midden van een geometrische figuur. Het geometrische middelpunt van een rechthoek is bijvoorbeeld het snijpunt van de symmetrieassen.

Het geometrische middelpunt van een lichaam of systeem valt samen met het massamiddelpunt, en dus met het zwaartepunt, wanneer het lichaam een uniforme dichtheid heeft of wanneer de massaverdeling van het systeem symmetrisch is.

Volgens hetzelfde voorbeeld is het geometrische middelpunt van een rechthoek het zwaartepunt en het massamiddelpunt.

Zwaartepunteigenschappen

Het zwaartepunt van een lichaam heeft de volgende eigenschappen:

Als het zwaartekrachtveld uniform is, is het zwaartepunt gelijk aan het massamiddelpunt.

Daarom kan, wanneer aan de vorige eigenschap is voldaan, de formule voor het zwaartepunt worden gebruikt om het zwaartepunt van een lichaam te bepalen, dat uit de volgende integraal bestaat:

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

Alle zwaartekrachten die op de deeltjes van een systeem inwerken, kunnen worden vervangen door een enkele resulterende kracht met een waarde M g (het gewicht van het hele systeem) en met een aangrijpingspunt in het zwaartepunt.

Elk object dat op een horizontale basis rust, zal in evenwicht zijn als de denkbeeldige verticale lijn die door het zwaartepunt gaat, de basis snijdt.