▷ Hellend vlak (natuurkunde): formules en oefeningen opgelost

In dit artikel wordt uitgelegd wat hellende vlakken in de natuurkunde zijn en hoe dit soort problemen worden opgelost. Je vindt er de formules voor de krachten die op een hellend vlak inwerken en daarnaast kun je trainen met oefeningen die stap voor stap op het hellende vlak worden opgelost.

Wat is een hellend vlak?

Een hellend vlak is een oppervlak dat onder een bepaalde hoek staat. In de natuurkunde wordt het hellende vlak gebruikt om krachtproblemen te oefenen.

Een hellingbaan of een hellende weg zijn bijvoorbeeld hellende vlakken.

Dankzij het hellende vlak transporteer je een object met minder kracht. Omdat het duwen van een voorwerp op een hellend vlak minder kracht vergt dan het verticaal optillen ervan.

Ook wordt het hellende vlak beschouwd als een van de zes klassieke eenvoudige machines.

Formules voor hellend vlak

Nu we de definitie van een hellend vlak kennen, gaan we kijken welke formules op een hellend vlak inwerken en welke vergelijkingen deze met elkaar verbinden.

Het eerste probleem dat we tegenkomen bij oefeningen met een hellend vlak is dat de meeste krachten werken in een richting evenwijdig aan of loodrecht op het hellende vlak. De typische coördinaatassen (één verticale as en één horizontale as) zijn dus niet erg bruikbaar voor dit soort problemen. Daarom werken we in hellende vlakken over het algemeen met een ander coördinatensysteem:

Om een hellend vlakprobleem op te lossen, gebruiken we in de natuurkunde twee verschillende assen: een eerste as waarvan de richting evenwijdig is aan het hellende vlak en, aan de andere kant, een tweede as waarvan de richting loodrecht staat op het hellende vlak.

Zoals je op de afbeelding kunt zien, werken er doorgaans drie verschillende krachten op een hellend vlak (als er wrijving is): de gewichtskracht, de normaalkracht en de wrijvingskracht (of wrijvingskracht). Maar logischerwijs, als er geen wrijving is op het hellende vlak, wordt de wrijvingskracht verwaarloosd.

De kracht van het gewicht wordt echter vectoraal opgesplitst in twee componenten: een component evenwijdig aan het hellende vlak en een andere component loodrecht op het hellende vlak. Op deze manier kunnen alle krachten worden uitgedrukt in de werkassen van het hellende vlak. De twee componenten van het gewicht van het lichaam dat op het hellende vlak rust, worden dus berekend door de sinus en de cosinus van de hellingshoek:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Ten slotte kunnen de krachten die op een hellend vlak inwerken, met elkaar in verband worden gebracht door de volgende twee formules:

Merk op dat, als de probleemstelling niet anders zegt, het lichaam op het hellende vlak van de helling af zou kunnen glijden. Daarom is een mogelijke versnelling opgenomen in de vergelijking voor de as evenwijdig aan het vlak. Aan de andere kant kan het lichaam niet bewegen in de richting van de as loodrecht op het hellende vlak, dus de som van de krachten is nul.

Opgelost voorbeeld van het hellende vlak

Om u te laten zien hoe problemen met hellende vlakken in de natuurkunde worden opgelost, kunt u hieronder een stapsgewijs opgelost voorbeeld bekijken.

We plaatsen een lichaam met massa m = 6 kg bovenaan een vlak dat onder een hoek van 45 graden staat. Als het lichaam met een versnelling van 4 m/s ² over het hellende vlak glijdt, wat is dan de dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen het oppervlak van het hellende vlak en dat van het lichaam? Gegevens: g=10 m/s ² .

probleem van de wrijvingscoëfficiënt of dynamische wrijving

Het eerste dat we moeten doen om elk natuurkundig probleem met betrekking tot de dynamiek op te lossen, is het tekenen van het vrije-lichaamsdiagram. Alle krachten die op het systeem inwerken zijn dus:

opgeloste oefening van de wrijvingscoëfficiënt of dynamische wrijving

In de richting van as 1 (evenwijdig aan het hellende vlak) heeft het lichaam een versnelling, maar in de richting van as 2 (loodrecht op het hellende vlak) is het lichaam in rust. Op basis van deze informatie stellen we de vergelijkingen van de krachten van het systeem vast:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

We kunnen dus de normaalkracht berekenen uit de tweede vergelijking:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

Aan de andere kant berekenen we de waarde van de wrijvingskracht (of wrijvingskracht) uit de eerste gepresenteerde vergelijking:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

En zodra we de waarde van de normaalkracht en de wrijvingskracht kennen, kunnen we de dynamische wrijvingscoëfficiënt bepalen met behulp van de bijbehorende formule:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Oefeningen opgelost op het hellende vlak

Oefening 1

We plaatsen een lichaam met een massa m=2 kg bovenaan een hellend vlak met een hellingshoek van 30º. Wat is de wrijvingscoëfficiënt tussen de helling en het lichaam als dit laatste in evenwicht blijft? Gegevens: g=9,81 m/s ²

Zie de oplossing

Zoals bij elk natuurkundig probleem waarbij krachten betrokken zijn, is het eerste wat je moet doen het tekenen van het vrijlichaamsdiagram van het systeem. Alle krachten die in dit systeem werken zijn dus:

oplossing van de uitoefening van normale kracht en wrijvingskracht

Om het systeem in evenwicht te brengen, moet de som van de krachten op de assen 1 en 2 gelijk zijn aan nul. Daarom zijn de volgende vergelijkingen waar:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

We kunnen nu de waarde van de normaalkracht berekenen uit de tweede vergelijking:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

Aan de andere kant bepalen we de waarde van de wrijvingskracht met behulp van de eerste vergelijking:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Op dezelfde manier kan de wrijvingskracht worden gerelateerd aan de normaalkracht en de wrijvingscoëfficiënt met behulp van de volgende formule:

$F_R=\mu \cdot N$

We lossen daarom de wrijvingscoëfficiënt uit de vergelijking op en berekenen de waarde ervan:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Oefening 2

Zoals we zien in het volgende systeem, gevormd door een hellend vlak en een katrol, zijn twee lichamen verbonden door een touw en een katrol met een verwaarloosbare massa. Als lichaam 2 massa m ₂ = 7 kg heeft en de helling van de helling 50° is, bereken dan de normaalkracht die het hellende vlak uitoefent op het lichaam met massa m ₁ zodat het hele systeem in evenwicht is. Verwaarloos de wrijvingskracht tijdens de oefening.

Zie de oplossing

Lichaam 1 bevindt zich op een hellende helling, dus het eerste wat u moet doen is de kracht van zijn gewicht vectoriseren om de krachten op de assen van de helling te krijgen:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

De reeks krachten die op het hele systeem inwerken, zijn dus:

translationele evenwichtsoefening opgelost

De probleemstelling vertelt ons dat het krachtensysteem in evenwicht is, dus de twee lichamen moeten in evenwicht zijn. Op basis van deze informatie kunnen we de evenwichtsvergelijkingen van de twee lichamen voorstellen:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

Uit de vorige vergelijking kunnen we de massa van lichaam 1 berekenen:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

Als we daarentegen naar het krachtdiagram van het systeem kijken, zien we dat de normaalkracht gelijk moet zijn aan de vectorcomponent van het gewicht van lichaam 1 loodrecht op het hellende vlak.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Uit deze vergelijking kunnen we dus de waarde van de normaalkracht vinden:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“213″ width=“8731″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

Uit de tweede vergelijking kunnen we de normaalkracht berekenen die op de slee inwerkt

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Omdat we nu de waarde van de normaalkracht en de dynamische wrijvingscoëfficiënt kennen, kunnen we de wrijvingskracht berekenen door de bijbehorende formule toe te passen:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Om de eindsnelheid te bepalen, moeten we dus eerst de versnelling van de slee vinden, en deze kan worden berekend op basis van de eerste gepresenteerde krachtvergelijking:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Zodra we de versnelling van de slee kennen, berekenen we de tijd die nodig is om de 20 meter af te leggen met de vergelijking van rechtlijnige beweging bij constante versnelling:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Logischerwijs sluiten we de negatieve oplossing uit, omdat tijd een fysieke grootheid is die niet negatief kan zijn.

Ten slotte berekenen we de eindsnelheid met behulp van de formule voor constante versnelling:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$