Dit artikel legt uit wat staande golven zijn in de natuurkunde. Zo vind je de vergelijking van staande golven, wat de kenmerken zijn van staande golven en bovendien wat de verschillende soorten staande golven zijn.
Wat is een staande golf?
Een staande golf is een oscillerende verstoring waarvan de pieken verticaal oscilleren maar niet in de lengterichting voortbewegen. Staande golven zijn het resultaat van interferentie tussen twee of meer golven, die bestaat uit de superpositie van golven met dezelfde kenmerken maar die in tegengestelde richtingen bewegen.
In de meeste gevallen worden staande golven veroorzaakt door het fysieke fenomeen resonantie, zodat golf-tot-golf interferentie optreedt tussen een golf en de gereflecteerde golf in een resonatormedium.
Wanneer we bijvoorbeeld een elastisch touw aan één uiteinde aan een muur bevestigen en het touw laten trillen, ontstaat er een staande golf. De snaar oscilleert en de trillingen worden gereflecteerd aan het vaste uiteinde van de snaar, waardoor de twee golven elkaar overlappen en er een staande golf ontstaat.
De bovenstaande grafiek toont een staande golf (rode golf) samen met de golven die elkaar overlappen en de staande golf vormen (groene en blauwe golven). Zoals je kunt zien beweegt de groene golf naar rechts, de blauwe golf naar links, en omgekeerd beweegt de staande golf niet horizontaal, maar trilt alleen verticaal.
Staande golven werden voor het eerst beschreven in 1831 door de Engelse natuurkundige Michael Faraday. De naam „staande golf“ werd echter in 1860 bedacht door de Duitse natuurkundige Franz Melde.
Vergelijking van een staande golf
De vergelijking voor een stationair element is tweemaal de amplitude van de oorspronkelijke golven maal het product van de sinus van het golfgetal maal de verlenging en de cosinus van de hoekfrequentie maal de tijd. De vergelijking voor een staande golf is dus y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .
Goud:
-
is de verlenging van het bestudeerde punt van de staande golf.
-
is de amplitude van de oorspronkelijke golven.
-
is het golfgetal.
-
is de positie van het bestudeerde punt van de staande golf.
-
is de hoek- of pulsatiefrequentie.
-
is het moment van de tijd.
Opmerking: er zijn verschillende manieren om de vergelijking van staande golven uit te drukken, dus afhankelijk van het boek kun je een iets andere vergelijking tegenkomen. In de natuurkunde is de meest gebruikte staande-golfvergelijking echter degene die in dit artikel wordt gepresenteerd.
Merk op dat het golfgetal en de hoekfrequentie van een staande golf worden berekend met behulp van de volgende formules:
![\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd9a9c86ac7bfe615da6e49025b8b40f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Goud:
-
is het golfgetal.
-
is de golflengte, dat wil zeggen de afstand tussen twee equivalente punten van de staande golf.
-
is de hoek- of pulsatiefrequentie.
-
is de periode gedefinieerd als de tijd tussen het moment waarop de golf door een punt gaat en het moment waarop deze opnieuw door een gelijkwaardig punt gaat.
-
is de frequentie, wat het aantal oscillaties van de golf per tijdseenheid is.
Gegeven twee voortplantingsgolven gedefinieerd door de volgende vergelijkingen:
![\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da9c518dd5d8c55b8ec331431c3b4198_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De staande golf is de som van de twee oscillerende golven, dus de staande golfvergelijking zal de som zijn van de twee voorgaande vergelijkingen:
![\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a035d8a9e422ca3984acb2bd87f96f0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
We zullen dan de volgende trigonometrische formules toepassen:
Door de voorgaande trigonometrische formules toe te passen, komen we dus tot de vergelijking van staande golven:
![\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8137cf4db2e711b343e2ee3226bcdfe2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Knooppunten en antinodes van een staande golf
Elke staande golf bestaat uit knooppunten en antinodes, die als volgt worden gedefinieerd:
- Knooppunten : zijn de punten van de staande golf waarvan de verlenging minimaal is (y=0). Deze punten zijn volledig stationair, omdat ze noch horizontaal noch verticaal bewegen.
- Buiken (of buiken) : dit zijn de punten van de staande golf waarvan de verlenging maximaal is (y = 2A of y = -2A). Deze punten oscilleren verticaal van de verlenging y=2A naar y=-2A.
Staande golven met beide uiteinden vast
Wanneer staande golven worden gegenereerd met beide uiteinden vast, betekent dit dat de uiteinden van de golf knooppunten zijn. Dit type staande golven wordt uitgevoerd in aan beide zijden gesloten buizen of door trillende touwen die aan de uiteinden zijn bevestigd.
Wanneer we bijvoorbeeld de snaren van een gitaar laten trillen, genereren we staande golven waarvan de twee uiteinden vast zijn.
In dit geval worden de golflengte en frequentie van de staande golf gedefinieerd door de volgende formules:
![\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a602b1c2e671ce2b9f7ec1702c3e91df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Goud:
-
is de golflengte.
-
is de lengte van de string.
-
is het harmonische getal (n=1, 2, 3, 4…).
-
is de natuurlijke of harmonische frequentie.
-
is de snelheid van de golfvoortplanting.
Zoals je in de afbeelding hierboven kunt zien, is het aantal antinodes en het aantal knooppunten afhankelijk van het harmonische getal. Het aantal antinodes van een staande golf waarvan beide uiteinden vast zijn, is gelijk aan het harmonische getal, terwijl het aantal knooppunten het harmonische getal plus één is.
Staande golven met beide uiteinden vrij
Tenslotte kunnen staande golven ook beide uiteinden vrij hebben , zodat beide uiteinden van de staande golf antinodes zijn.
Dit soort staande golven worden in veel blaasinstrumenten gegenereerd omdat beide uiteinden open zijn.
De golflengte en frequentie van een staande golf met beide uiteinden open worden berekend met behulp van de volgende formules:
![\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cacd0cbaa519db536382349834eb0142_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Goud:
-
is de golflengte.
-
is de lengte van de string.
-
is het harmonische getal (n=1, 2, 3, 4…).
-
is de natuurlijke of harmonische frequentie.
-
is de voortplantingssnelheid van de golf.
Als je naar de afbeelding hierboven kijkt, hebben dit soort staande golven evenveel knooppunten als het harmonische getal. Het aantal antinodes van deze klasse staande golven is daarentegen het harmonische getal plus één.
Staande golven met één vast uiteinde en één vrij uiteinde
Wanneer de golf zich voortplant in een medium waarin het ene uiteinde vast is en het andere uiteinde vrij is , impliceert dit dat het ene uiteinde van de golf een knooppunt zal zijn en het andere uiteinde van de golf een tegenknoop.
Dit soort staande golven komen bij veel muziekinstrumenten voor. De golven die in een trompet, fluit of klarinet worden gegenereerd, hebben bijvoorbeeld één vast uiteinde, waar de muzikant doorheen blaast, en een ander vrij uiteinde, waar de muzikant doorheen blaast. Het instrument.
In dit geval kunnen de lengte en frequentie van de staande golf worden berekend met de volgende formules:
![\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79cd7218a7a133578e1c7cdf3b6b21f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Goud:
-
is de golflengte.
-
is de lengte van de string.
-
is de parameter die het harmonische getal bepaalt (n=1, 2, 3, 4…).
-
is de natuurlijke of harmonische frequentie.
-
is de voortplantingssnelheid van de golf.
Let op: houd er rekening mee dat er in dit geval alleen oneven harmonischen bestaan (1, 3, 5, 7…), omdat het bij dit soort staande golven alleen mogelijk is om oneven veelvouden van de fundamentele frequentie te genereren.
In dit geval heeft de staande golf hetzelfde aantal knooppunten als de antinodes. Concreet heeft de staande golf evenveel knooppunten en evenveel antinodes als de waarde van de parameter n van de harmonische: