▷ Elliptische beweging

Dit artikel legt uit wat elliptische beweging is in de natuurkunde. Op dezelfde manier vindt u voorbeelden van elliptische bewegingen, de formules van een elliptische beweging en bovendien een oefening die stap voor stap wordt opgelost.

Wat is de elliptische beweging?

Elliptische beweging is die beweging waarbij het bewegende lichaam een elliptisch traject beschrijft. Met andere woorden: het lichaam dat een elliptische beweging volgt, heeft een traject in de vorm van een ellips.

De ellips is een kromlijnige geometrische figuur waarvan de ene as groter is dan de andere, met andere woorden, een ellips lijkt op een afgeplatte cirkel.

Daarom is het belangrijkste kenmerk van elliptische beweging dat het traject van het bewegende lichaam elliptisch is. Daarom is de snelheid niet constant over het hele pad, maar over het algemeen hebben elliptische bewegingen punten waar het lichaam sneller beweegt dan op andere punten.

De baan van een planeet rond de zon is bijvoorbeeld elliptisch, dus het pad van de aarde rond de zon is een voorbeeld van elliptische beweging.

Voorbeelden van elliptische bewegingen

Zodra we de definitie van elliptische beweging hebben gezien, zullen we verschillende voorbeelden uit het dagelijks leven van dit soort beweging zien om het concept beter te begrijpen.

Orbitale vertaling : de trajecten beschreven door planeten, asteroïden, satellieten, enz. Ze zijn elliptisch, dus we kunnen veel voorbeelden vinden van elliptische bewegingen in de ruimte.
Parabolische worp : Parabolische worp is een ander voorbeeld van elliptische beweging, want wanneer een object wordt geworpen en een parabolische baan beschrijft, is de kromtestraal over het algemeen niet constant maar varieert, dus het is geen cirkelvormig traject maar eerder een elliptisch pad.
De hoelahoep (of hoelahoep) : hoewel de hoepel waarmee wordt gespeeld cirkelvormig is, is de beweging die wordt beschreven door het deel van het lichaam dat roteert elliptisch.
De elliptische fiets : Elliptische fietsen zijn machines die in sportscholen worden gebruikt voor lichamelijke oefening. De beweging die door de pedalen van dit type fiets wordt uitgevoerd, is dus elliptisch.
Het traject van een boemerang : bij het gooien van een boemerang is de vorm van het traject dat dit object beschrijft een ellips. Het traject van een boemerang is daarom een ander voorbeeld van elliptische beweging.

Formule voor elliptische beweging

Over het algemeen kunnen de cartesische coördinaten van een lichaam dat een elliptische beweging beschrijft, worden geformuleerd door twee parametrische vergelijkingen. De X-coördinaat en Y-coördinaat van een elliptische beweging worden dus gewoonlijk gedefinieerd in termen van respectievelijk de cosinus en sinus van de hoekpositie.

$\begin{cases}x=a\cdot \text{cos}(\theta )\\[2ex]y=b\cdot \text{sin}(\theta )\end{cases}$

De positie van het lichaam dat een elliptische beweging uitvoert, kan ook worden beschreven door de positievector :

$\vv{r}=a\cdot \text{cos}(\theta )\vv{i}+b\cdot \text{sin}(\theta )\vv{j}$

Op dezelfde manier kunnen uit de positievector de snelheidsvector en de versnellingsvector worden berekend door te differentiëren met betrekking tot de tijd:

$\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

Over het algemeen wordt de formule voor de positie van een lichaam dat een elliptische beweging uitvoert, gedefinieerd door sinus en cosinus. Afhankelijk van het toepassingsgebied zijn er echter ook specifieke formules, zo bestaat er bijvoorbeeld een specifieke vergelijking om de elliptische beweging van een planeet te beschrijven.

Opgeloste oefening voor de elliptische beweging

De positie van een bewegend lichaam dat een elliptische beweging beschrijft, wordt gedefinieerd door de vergelijking
$\vv{r}(t)=0.3\text{cos}(10t)\vv{i}+0.2\text {sin}( 10t)\vv{j} \ m$

. Wat is de tangentiële versnelling van de mobiel op tijdstip t=π/40 s?

De positievector die de elliptische beweging van het probleem beschrijft is:

$\vv{r}(t)=0,3\text{cos}(10t)\vv{i}+0,2\text{sin}(10t)\vv{j} \ m[/latex ] Ainsi, pour trouver le vecteur vitesse, nous devons dériver le vecteur position par rapport au temps : [latex]\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{v}(t)=-3\text{sin}(10t)\vv{i}+2\text{cos}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s }$

Vervolgens leiden we opnieuw de vergelijking af die is verkregen met betrekking tot de tijd om de versnellingsvector te verkrijgen:

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

$\vv{a}(t)=-30\text{cos}(10t)\vv{i}-20\text{sin}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s ^2}$

Om ten slotte de versnelling op tijdstip t=π/40 s te bepalen, vervangt u eenvoudigweg de parameter t door zijn waarde en voert u de berekeningen uit:

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right )\vv{i}-20\text{sin}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv {i}-20\text{sin}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-21.21\vv{i}-14.14\vv{j}$