▷ 경사면(물리): 공식과 연습 문제 해결

이 기사에서는 물리학에서 경사면이 무엇인지, 그리고 이러한 유형의 문제가 어떻게 해결되는지 설명합니다. 경사면에 작용하는 힘에 대한 공식을 찾을 수 있으며, 또한 경사면에서 단계별로 해결되는 연습을 통해 훈련할 수 있습니다.

경사면이란 무엇입니까?

경사면은 특정 각도만큼 기울어진 표면입니다. 물리학에서 경사면은 강도 문제를 연습하는 데 사용됩니다.

예를 들어 경사로나 경사로는 경사면입니다.

경사면을 사용하면 더 적은 힘을 사용하여 물체를 운반할 수 있습니다. 경사면에서 물체를 미는 것은 수직으로 들어올리는 것보다 힘이 덜 필요하기 때문입니다.

또한 경사면은 6대 고전 심플머신 중 하나로 간주됩니다.

경사면 공식

이제 경사면의 정의를 알았으니 경사면에 작용하는 공식과 이를 연결하는 방정식이 무엇인지 살펴보겠습니다.

경사면 운동에서 직면하는 첫 번째 문제는 대부분의 힘이 경사면에 평행하거나 수직인 방향으로 작용한다는 것입니다. 따라서 일반적인 좌표축(세로 축 하나와 가로 축 하나)은 이러한 유형의 문제에는 별로 유용하지 않습니다. 이것이 일반적으로 경사면에서 다른 좌표계를 사용하여 작업하는 이유입니다.

물리학에서는 경사면 문제를 해결하기 위해 두 개의 서로 다른 축을 사용합니다. 첫 번째 축은 경사면에 평행한 방향이고 다른 한편으로는 방향이 경사면에 수직인 두 번째 축입니다.

또한 이미지에서 볼 수 있듯이 일반적으로 경사면에는 세 가지 다른 힘(마찰이 있는 경우)이 작용합니다 . 즉 중량력, 수직력, 마찰력(또는 마찰력)입니다. 그러나 논리적으로 경사면에 마찰이 없으면 마찰력은 무시됩니다.

그러나 무게추의 힘은 경사면에 평행한 성분과 경사면에 수직인 성분이라는 두 가지 성분으로 벡터적으로 분해됩니다. 이러한 방식으로 모든 힘은 경사면의 작업 축에서 표현될 수 있습니다. 따라서 경사면에 놓인 신체 무게의 두 구성 요소는 경사각의 사인과 코사인으로 계산됩니다.

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

마지막으로 경사면에 작용하는 힘은 다음 두 공식으로 연관될 수 있습니다.

문제 설명에서 달리 언급하지 않으면 경사진 평면의 몸체가 경사면 아래로 미끄러질 수 있으므로 평면에 평행한 축에 대한 방정식에 가능한 가속도가 포함됩니다. 반면에 물체는 경사면에 수직인 축 방향으로 움직일 수 없으므로 힘의 합은 0이 됩니다.

경사면의 해결 예

물리학에서 경사면 문제가 어떻게 해결되는지 확인하기 위해 아래에서 단계별로 해결된 예를 볼 수 있습니다.

우리는 45° 기울어진 평면의 꼭대기에 질량이 m=6kg인 물체를 놓습니다. 물체가 4 m/s ² 의 가속도로 경사면에서 미끄러지면 경사면 표면과 물체 표면 사이의 동적 마찰 계수는 얼마입니까? 데이터: g=10m/s ² .

역학에 관한 물리학 문제를 해결하기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 자유물체도를 그리는 것입니다. 따라서 시스템에 작용하는 모든 힘은 다음과 같습니다.

축 1(경사면에 평행) 방향에서는 물체가 가속도를 가지지만 축 2(경사면에 수직) 방향에서는 물체가 정지 상태입니다. 이 정보로부터 우리는 시스템 힘의 방정식을 확립합니다.

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

따라서 두 번째 방정식을 통해 수직항력을 계산할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

한편, 제시된 첫 번째 방정식으로부터 마찰력(또는 마찰력)의 값을 계산합니다.

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

수직력과 마찰력의 값을 알면 해당 공식을 사용하여 동적 마찰 계수를 결정할 수 있습니다.

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

경사면에서 해결되는 운동

연습 1

우리는 질량이 m=2kg인 물체를 경사각이 30°인 경사면 상단에 놓습니다. 경사로와 몸체가 평형 상태를 유지하는 경우 경사로와 몸체 사이의 마찰 계수는 얼마입니까? 데이터: g=9.81m/s ²

솔루션 보기

힘과 관련된 모든 물리학 문제에서 가장 먼저 해야 할 일은 시스템의 자유물체 다이어그램을 그리는 것입니다. 따라서 이 시스템에 작용하는 모든 힘은 다음과 같습니다.

따라서 시스템이 평형을 이루려면 축 1과 2에 작용하는 힘의 합이 0과 같아야 합니다. 따라서 다음 방정식은 참입니다.

$F_R=P_1$

$N=P_2$

이제 두 번째 방정식에서 수직력의 값을 계산할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

반면에 첫 번째 방정식을 사용하여 마찰력의 값을 결정합니다.

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

마찬가지로 마찰력은 다음 공식을 사용하여 수직력 및 마찰 계수와 관련될 수 있습니다.

$F_R=\mu \cdot N$

따라서 방정식에서 마찰 계수를 풀고 그 값을 계산합니다.

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

연습 2

경사면과 도르래로 구성된 다음 시스템에서 볼 수 있듯이 두 몸체는 무시할 수 있는 질량의 도르래와 로프로 연결됩니다. 몸체 2의 질량이 m ₂ = 7 kg이고 경사면의 경사가 50°인 경우 전체 시스템이 평형을 이루도록 경사면이 질량 m ₁ 의 몸체에 가하는 수직력을 계산합니다. 운동 전반에 걸쳐 마찰력을 무시하십시오.

솔루션 보기

몸체 1은 경사진 경사면에 있으므로 가장 먼저 해야 할 일은 경사면의 축에 힘이 가해지도록 무게의 힘을 벡터화하는 것입니다.

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

따라서 전체 시스템에 작용하는 힘의 집합은 다음과 같습니다.

문제 설명은 힘의 시스템이 평형 상태에 있으므로 두 물체가 평형 상태에 있어야 함을 알려줍니다. 이 정보로부터 우리는 두 물체의 평형 방정식을 제안할 수 있습니다.

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

이전 방정식을 통해 몸체 1의 질량을 계산할 수 있습니다.

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

반면에 시스템의 힘 다이어그램을 보면 수직력은 경사면에 수직인 몸체 1의 무게의 벡터 구성요소와 같아야 한다는 것을 알 수 있습니다.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

따라서 이 방정식에서 수직항력의 값을 찾을 수 있습니다.

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

두 번째 방정식을 통해 썰매에 작용하는 수직력을 계산할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

이제 수직력과 동적 마찰 계수의 값을 알았으므로 해당 공식을 적용하여 마찰력을 계산할 수 있습니다.

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

따라서 최종 속도를 결정하려면 먼저 썰매의 가속도를 찾아야 하며 이는 제시된 첫 번째 힘 방정식을 통해 계산할 수 있습니다.

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

썰매의 가속도를 알고 나면 일정한 가속도에서 직선 운동 방정식을 사용하여 20m를 이동하는 데 걸리는 시간을 계산합니다.

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

논리적으로 시간은 음수가 될 수 없는 물리량이므로 음수해를 제외합니다.

마지막으로 등가속도 공식을 사용하여 최종 속도를 계산합니다.

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$