▷ 定在波

この記事では、物理学における定在波とは何かについて説明します。したがって、定在波の方程式、定在波の特徴、さらには定在波のさまざまな種類がわかります。

定在波とは何ですか?

定在波は、そのピークが垂直に振動しますが、縦方向には進まない振動性外乱です。定在波は、2 つ以上の波間の干渉の結果であり、同じ特性を持つが反対方向に移動する波の重ね合わせで構成されます。

ほとんどの場合、定在波は共振の物理現象によって引き起こされ、共振器媒体内で波とその反射波との間で波間干渉が発生します。

たとえば、弾性ロープの一端を壁に取り付けてロープを振動させると、定在波が生成されます。弦が振動し、その振動が弦の固定端で反射されるため、2 つの波が重なり、定在波が形成されます。

上のグラフは、定在波 (赤い波) と、定在波を形成するために重なっている波 (緑と青の波) を示しています。ご覧のとおり、緑の波は右に、青の波は左に移動し、逆に定在波は水平方向には動かず、垂直方向にのみ振動します。

定在波は、1831 年に英国の物理学者マイケルファラデーによって初めて説明されました。ただし、「定在波」という名前は 1860 年にドイツの物理学者フランツメルデによって造られました。

定在波の方程式

定常状態の方程式は、元の波の振幅の 2 倍に、波数のサインと伸びを掛けた積と、角周波数のコサインと時間を掛けた積です。したがって、定在波の方程式は y=2・A・sin(k・x)・cos(ω・t) となります。

$y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)$

金：

$y$

定在波の調査点の伸びです。
$A$

元の波の振幅です。
$k$

は波数です。
$x$

定在波の調査点の位置です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。
$t$

という瞬間です。

注:定在波方程式を表す方法はいくつかあるため、書籍によっては若干異なる方程式が見つかる場合があります。ただし、物理学で最もよく使用される定在波方程式は、この記事で紹介したものです。

定在波の波数と角周波数は次の式を使用して計算されることに注意してください。

$\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}$

金：

$k$

は波数です。
$\lambda$

は波長、つまり定在波の 2 つの等価点の間の距離です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。
$T$

波がある点を通過してから、再度同等の点を通過するまでの時間として定義される期間です。
$f$

は周波数であり、単位時間当たりの波の振動数です。

定在波の方程式のデモをご覧ください。

次の方程式で定義される 2 つの伝播波があるとします。

$\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

定在波は 2 つの振動波の合計であるため、定在波の方程式は前の 2 つの方程式の合計になります。

$\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

次に、次の三角関数の公式を適用します。

$\displaystyle\text{sin}(A)+\text{sin}(B)=2\cdot \text{sin}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\ texte{cos}\left(\frac{AB}{2}\right)$

$\text{cos}(-A)=\text{cos}(A)$

したがって、前述の三角関数の公式を適用すると、定在波の方程式が得られます。

$\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}$

定在波の節と腹

定在波は、次のように定義される節と腹で構成されます。

ノード: 伸びが最小になる (y=0) 定在波の点です。これらの点は水平にも垂直にも動かないため、完全に静止しています。
ベリー (またはベリー) : これらは、伸びが最大になる定在波の点です (y = 2A または y = -2A)。これらの点は、伸び率 y=2A から y=-2A まで垂直に振動します。