重心: 定義、公式、例、プロパティなど

この記事では、重心とは何か、その座標の計算方法、およびその特性について説明します。さらに、重心、質量中心、幾何学的中心の類似点と相違点も学びます。

重心とは何ですか?

物体またはシステムの重心は、その物体またはシステムの質量に作用する重力全体が影響を与えると考えられる点です。

言い換えれば、物体の重心は、地球がその物体に及ぼす重力の作用点である。

たとえば、球の重心は球の中心です。球の質量が物体全体に均等に分布しているため、これは重心の簡単な例ですが、以下で説明するように、物体の重心を決定するために計算を実行する必要がある場合があります。

物理学では、重心は cdg または CDG と略されることがよくあります。同様に、重心はバランス中心またはバランス中心とも呼ばれます。

ご想像のとおり、システムの重心がどこにあるかを知ることは、エンジニアリングにおいて非常に重要です。たとえば、構造のバランスと安定性を正しく研究できるようになります。

重心の計算方法

システムの重心の座標を計算するには、システム内の各質量の積の合計を基準点からの距離で求め、その結果をすべての質量の合計で割る必要があります。

この式は 2 回使用する必要があります。1 回目は重心の X 座標を見つけるため、もう 1 回目は Y 座標を見つけるために使用します。したがって、重心を計算する式は次のようになります。

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

論理的には、3 次元で作業している場合は、同じ公式を同様に Z 座標にも再度適用する必要があります。

重心の計算例

重心の定義と公式を考慮して、システムの重心がどのように計算されるかを確認するための段階的な演習を以下に示します。

異なる質量の 4 つのオブジェクトを含む次のシステムを想定して、システムの重心を計算します。

この場合、システムの 4 つの幾何学的図形は対称であるため、重心を計算するには各図形の中心の座標を取得する必要があります。

まず、重心の X 座標を計算します。

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

次に、対応する式を使用して重心の Y 座標を求めます。

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

結論として、システム全体の重心は次のようになります。

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

重心と質量中心

重心と質量中心の違いは、重心は重力の作用点であるのに対し、質量中心はすべての外力の作用点であることです。

つまり、系内のすべての重力を置き換えた結果として生じる力が作用すると考えられる点が重心であり、合力が作用すると考えられる点が質量中心です。システムの外部に働くすべての力。

しかし、重力場が一様であれば、重心は質量中心と一致します。したがって、地球上の重力はほぼ均一であるため、実用上は質量中心と重心は同一点と考えられます。

重心と幾何学中心

幾何学的中心とは、幾何学的図形の中央にある点です。たとえば、長方形の幾何学的中心は、その対称軸の交点です。

物体またはシステムの幾何学的中心は質量の中心と一致し、したがって物体の密度が均一である場合、またはシステムの質量の分布が対称である場合は重心と一致します。

同じ例に従うと、長方形の幾何学的中心はその重心と質量の中心になります。

重心のプロパティ

物体の重心には次の特性があります。

重力場が一様であれば、重心は質量中心に相当します。

したがって、前述の特性が満たされる場合、次の積分で構成される質量中心の式を使用して物体の重心を決定できます。

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

系の粒子に作用するすべての重力は、値 M g (系全体の重量) の単一の結果として生じる力と、重心に作用点を置くことで置き換えることができます。

水平なベースの上に置かれた物体は、その重心を通る仮想の垂直線がベースと交差する場合に平衡状態になります。