▷単純調和運動（MAS）

この記事では、物理学における単純調和運動 (SHM) について説明します。したがって、単純な調和運動の特徴、このタイプの動きの例、さらに単純な調和運動のすべての公式が何であるかがわかります。

単純調和運動 (SHA) とは何ですか?

単調和運動 (SHA) は、単調和振動運動 (MVAS)とも呼ばれ、移動体が振動経路を作る周期運動です。つまり、単純な調和運動では、物体は平衡位置の一方の側からもう一方の側へ繰り返し振動します。

このように、単純な調和運動を描く物体は、平衡位置である中心位置から遠ざかったり近づいたりを繰り返します。また、このような動きでは摩擦を無視しているため、同じ場所を2回通過するのにかかる時間は常に同じとなり、周期的な動きとなります。

たとえば、天井に取り付けられたバネで吊り下げられた物体は、重力によって下降し、バネの弾性力によって上昇するため、単調和運動 (空気摩擦を無視) をし、周囲で振動運動を行います。。その平衡位置。

単純な調和運動の例

単純調和運動 (MAS) の定義を理解したら、概念をよりよく理解するためにこのタイプの運動の例をいくつか見ていきます。

単純調和運動 (SAM) の例:

バネで吊り下げられた体の動き。
振り子の振動運動。
時計機構の反復的な動き。
心臓の鼓動の振動運動。

これらすべての動きが時間の経過とともに無限に振動するためには、いかなる種類の摩擦も存在してはならないことに注意してください。実際にはこれらの動きは空気や物質との摩擦によって最終的には止まりますが、物理学では摩擦は無視されるため、無限に振動していると考えられます。

単振動の特徴

単純な調和運動は、それを特徴付ける次の要素で構成されます。

伸び(x) : ある瞬間に単振動運動を行う物体の位置です。それは体がバランスの取れた位置から離れることを表します。
振幅 (A) : 単純な調和運動の最大の広がりです。したがって、それは最大位置と平衡位置の間の差です。
期間 (T) : ボディが完全な振動を完了するのに必要な時間です。
周波数 (f) : 身体が単位時間あたりに行う振動または振動の数です。
位相 (φ) : ある瞬間における物体の振動状態を表す角度です。
初期位相 (φ ₀ ) : 物体の初期振動状態を表す角度です。
角周波数または脈動 (ω) : これは、物体が振動を実行する速度です。つまり、単振動の位相変化の速度を表します。

単振動の公式

以下は、単振動の公式または方程式です。これらの公式は、単純な調和運動の問題を解決するのに役立ちます。

位置

単純な調和運動を表す粒子の位置は、運動の振幅と角周波数の余弦と時間と運動の初期位相を掛けたものとして定義されます。したがって、単振動の位置の公式は次のようになります。

$x(t)=A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

金：

$x$

単純な調和運動を実行する体の伸びです。
$A$

は単振動の振幅です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。
$t$

位置が計算される時刻です。
$\phi_0$

は単振動の初期位相です。

スピード

物体の瞬間速度は、時間に対するその瞬間位置の導関数に等しい。したがって、単振動の速度の公式は次のようになります。

$v(t)=\cfrac{dx(t)}{dt}=-\omega\cdot A\cdot \text{sin}(\omega t+\phi_0)$

金：

$v$

は、単純な調和運動を実行する体の瞬間的な速度です。
$x$

は、単純な調和運動を実行する体の瞬間的な位置です。
$A$

は単振動の振幅です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。
$t$

位置が計算される時刻です。
$\phi_0$

は単振動の初期位相です。

単振動運動を行う物体の速度の大きさは、平衡位置を通過するときに最大になることに注意してください。一方、物体の速度は、振動の端のいずれか、つまり最大伸びまたは最小伸びにあるときはゼロです。

加速度

物体の瞬間的な加速度は、時間に対する瞬間的な速度の方程式を導出することで計算されます。したがって、単振動の加速度の公式は次のようになります。

$a(t)=\cfrac{dv(t)}{dt}=-\omega^2\cdot A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

金：

$a$

は、単純な調和運動を生み出す体の瞬間的な加速度です。
$v$

は、単純な調和運動を実行する体の瞬間的な速度です。
$A$

は単振動の振幅です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。
$t$

位置が計算される時刻です。
$\phi_0$

は単振動の初期位相です。

加速度の大きさは、単振動を表す物体が最大または最小の位置にあるとき、つまり伸びが最大または最小のときに最大になることに注意してください。ただし、平衡位置にあるときの物体の加速度はゼロです。

期間と頻度

周期とは、身体が完全な振動を完了するまでにかかる時間、つまり、ある位置を通過した瞬間と、再び同じ位置を通過する瞬間との間に経過する時間です。したがって、周期は 2 π を単振動の脈動で割ったものに等しくなります。

$T=\cfrac{2\pi}{\omega}$

周波数とは、単位時間あたりに身体が起こす振動の数です。単純な調和運動の周波数は、その脈動を数値 pi の 2 倍で割ることによって得られます。

$f=\cfrac{\omega}{2\pi}$

したがって、周期と周波数は逆乗の関係にあり、これらの量の一方が既知であれば、次の式を使用して他方の量を計算できることを意味します。

$T=\cfrac{1}{f}$

金：

$T$

がポイントです。
$f$

周波数です。
$\omega$

は角または脈動周波数です。

角または脈動周波数

角周波数は脈動とも呼ばれ、物体が単振動で振動する速度です。角周波数を計算する式は次のとおりです。

$\displaystyle \omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}$

金：

$\omega$

は角または脈動周波数です。
$T$

がポイントです。
$f$

周波数です。
$k$

は振動バネの定数です。
$m$

単振動を行う物体の質量です。

弾性力

弾性力は復元力とも呼ばれ、弾性材料が変形するときに及ぼす力であり、したがって単振動の振動を引き起こす力です。たとえば、バネは伸びたり縮んだりすると、元の位置に戻ろうとする弾性力が働きます。

弾性力の公式は次のとおりです。

$F_e=-k\cdot \Delta x$

金：

$F$

は弾性力であり、ニュートンで表されます。
$k$

はバネの弾性定数で、単位は N/m です。
$\Delta x$

バネが受ける伸びをメートル単位で表します。

注: マイナス記号は、弾性力の方向がバネの伸びと逆であることを示すために単に使用されています。重要なことは、弾性力の大きさは弾性定数と変位の積に等しいということです。

弾性力の公式から、ばねが最大伸び状態 (最大位置または最小位置) にあるときに弾性力係数が最大になることが容易に推測できます。同様に、物体が平衡位置にあるとき、弾性力はゼロになります。

運動エネルギーと位置エネルギー

運動エネルギーは、その速度により物体が利用できるエネルギーであり、一方、位置エネルギーは、弾性力による仕事により、変形可能な物体 (通常はバネ) 内に蓄積されるエネルギーです。したがって、単振動の運動エネルギーと位置エネルギーを計算する式は次のとおりです。

$\begin{array}{c}E_c=\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\\[4ex]E_p=\cfrac{1}{2}\cdot k\cdot x ^2\end{tableau}$

同様に、機械エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの合計に相当します。

$E_m=E_c+E_p$

金：

$E_c$

は運動エネルギーです。
$E_p$

は位置エネルギーです。
$m$

単振動を行う物体の質量です。
$v$

単振動を行う物体の速度です。
$k$

はバネの弾性定数で、単位は N/m です。
$x$

は、単純な調和運動を表す体の伸びです。
$E_m$

力学的エネルギーです。

さらに、摩擦を考慮しない場合、ばねのエネルギーは失われるのではなく変換されます（力学的エネルギー保存則）。したがって、弾性位置エネルギーを運動エネルギーに変換したり、その逆に変換したりすることはできますが、総エネルギーは減少しません。

$E_{p_i}+E_{c_i}=E_{p_f}+E_{c_f}$

したがって、弾性位置エネルギーが最大になるとき、つまりばねが完全に伸びるか圧縮されるとき、運動エネルギーはゼロになります。同様に、運動エネルギーが最大のとき、つまりばねが平衡位置にあるとき、弾性位置エネルギーはゼロになります。

単振動の公式のまとめ

最後に、要約として、単純調和運動 (MAS) のすべての公式をまとめた表を示します。

単振動(shm)

単純調和運動 (SHA) とは何ですか?

単純な調和運動の例

単振動の特徴

単振動の公式

位置

スピード