▷ 傾斜面 (物理): 公式と演習を解く

この記事では、物理学における傾斜面とは何か、またこの種の問題をどのように解決するかについて説明します。傾斜面に作用する力の公式がわかり、さらに傾斜面で段階的に解く演習でトレーニングすることができます。

傾斜面とは何ですか?

傾斜面とは、ある角度だけ傾いた面のことです。物理学では、傾斜面は強度の問題を練習するために使用されます。

たとえば、スロープや坂道は傾斜面です。

傾斜面により、より少ない力で物体を搬送できます。傾斜面上で物体を押すことは、物体を垂直に持ち上げるよりも少ない力で済むためです。

また、インクラインドプレーンは 6 つの古典的な単純な機械の 1 つと考えられています。

傾斜面の公式

傾斜面の定義がわかったので、傾斜面にどのような式が作用するのか、またそれらを結び付ける方程式を見てみましょう。

傾斜面の演習で遭遇する最初の問題は、ほとんどの力が傾斜面に平行または垂直の方向に作用することです。したがって、一般的な座標軸 (1 つの垂直軸と 1 つの水平軸) は、この種の問題にはあまり役に立ちません。一般に、傾斜面では別の座標系を使用するのはこのためです。

物理学では、傾斜面の問題を解決するために、2 つの異なる軸を使用します。1番目の軸の方向は傾斜面に平行で、2 番目の軸の方向は傾斜面に垂直です。

また、画像からわかるように、傾斜面には一般に (摩擦がある場合) 重力、垂直力、摩擦力 (または摩擦力) の 3 つの異なる力が作用します。しかし、論理的には、斜面に摩擦がなければ、摩擦力は無視されます。

しかし、おもりの力はベクトル的には傾斜面に平行な成分と傾斜面に垂直な成分の２成分に分解されます。このようにして、すべての力を傾斜面の作用軸で表現できます。したがって、傾斜面上にある物体の重量の 2 つの成分は、傾斜角のサインとコサインによって計算されます。

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

最後に、傾斜面に作用する力は、次の 2 つの式で関係付けることができます。

問題文に別の記載がない場合、傾斜面上の物体が斜面を滑り落ちる可能性があることに注意してください。そのため、考えられる加速度が面に平行な軸の方程式に含まれています。一方、物体は傾斜面に垂直な軸方向には移動できないので、力の和はゼロになります。

傾斜面の解決例

傾斜面の問題が物理学でどのように解決されるかを理解できるように、以下に段階的な解決例を示します。

質量 m=6 kg の物体を 45 度傾斜した平面の上部に置きます。物体が加速度 4 m/s ²で斜面上を滑る場合、斜面の表面と物体の表面との間の動摩擦係数はいくらですか?データ: g=10 m/s ² 。

力学に関する物理学の問題を解決するために最初に行う必要があるのは、自由体図を描くことです。したがって、システムに作用するすべての力は次のとおりです。

軸 1 (傾斜面に平行) の方向では物体は加速度を持ちますが、軸 2 (傾斜面に垂直) の方向では物体は静止しています。この情報から、システムの力の方程式を確立します。

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

したがって、2 番目の方程式から垂直抗力を計算できます。

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

一方、提示された最初の方程式から摩擦力 (または摩擦力) の値を計算します。

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

垂直抗力と摩擦力の値がわかれば、対応する式を使用して動摩擦係数を求めることができます。

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

傾斜面で解く演習

演習 1

質量 m=2 kg の物体を傾斜角 30 度の傾斜面の頂上に置きます。ランプと本体が平衡状態にある場合、その間の摩擦係数はいくらですか?データ: g=9.81 m/s ²

解決策を見る

力を伴う他の物理問題と同様に、最初に行うことは、システムの自由体図を描くことです。したがって、このシステムで作用するすべての力は次のとおりです。

したがって、システムが平衡状態にあるためには、軸 1 と軸 2 にかかる力の合計がゼロに等しくなければなりません。したがって、次の方程式が成り立ちます。

$F_R=P_1$

$N=P_2$

これで、2 番目の方程式から垂直抗力の値を計算できるようになりました。

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

一方、最初の式を使用して摩擦力の値を決定します。

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

同様に、次の式を使用して、摩擦力を垂直抗力および摩擦係数に関連付けることができます。

$F_R=\mu \cdot N$

したがって、方程式から摩擦係数を解き、その値を計算します。

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

演習 2

傾斜面と滑車によって形成された次のシステムでわかるように、2 つの物体はロープと無視できる質量の滑車によって接続されています。物体 2 の質量 m ₂ = 7 kg で、ランプの傾斜が 50°である場合、システム全体が平衡状態になるように、傾斜面が質量 m ₁の物体に及ぼす垂直抗力を計算します。運動中は摩擦力を無視してください。

解決策を見る

ボディ 1 は傾斜した斜面上にあるため、最初に行うことは、その重量の力をベクトル化して斜面の軸に力を持たせることです。

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

したがって、システム全体に作用する一連の力は次のとおりです。

問題文は、力の系が平衡状態にあることを示しているため、2 つの物体は平衡状態にある必要があります。この情報から、2 つの物体の平衡方程式を提案できます。

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

前の式から、物体 1 の質量を計算できます。

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

一方、システムの力の図を見ると、法線力は傾斜面に垂直な物体 1 の重量のベクトル成分に等しくなければならないことがわかります。

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

したがって、この方程式から垂直抗力の値を求めることができます。

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

2 番目の方程式から、スレッドに作用する垂直抗力を計算できます。

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

垂直抗力と動摩擦係数の値がわかったので、対応する式を適用して摩擦力を計算できます。

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

したがって、最終速度を決定するには、まずスレッドの加速度を見つける必要があります。これは、最初に示された力の方程式から計算できます。

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

そりの加速度がわかったら、一定加速度での直線運動の方程式を使用して、20 メートルの移動にかかる時間を計算します。

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

時間は負になり得ない物理量であるため、論理的には負の解は除外されます。

最後に、等加速度の公式を使用して最終速度を計算します。

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$