▷ Piano inclinato (fisica): formule ed esercizi risolti

In questo articolo viene spiegato cosa sono i piani inclinati in fisica e come si risolvono problemi di questo tipo. Troverai le formule per le forze che agiscono su un piano inclinato e, inoltre, potrai allenarti con esercizi risolti passo dopo passo sul piano inclinato.

Cos’è un piano inclinato?

Un piano inclinato è una superficie inclinata di un certo angolo. In fisica, il piano inclinato viene utilizzato per praticare problemi di forza.

Ad esempio, una rampa o una strada in pendenza sono piani inclinati.

Il piano inclinato consente di trasportare un oggetto utilizzando meno forza. Poiché spingere un oggetto su un piano inclinato richiede meno forza che sollevarlo verticalmente.

Inoltre, il piano inclinato è considerato una delle sei classiche macchine semplici.

Formule del piano inclinato

Ora che conosciamo la definizione di piano inclinato, vediamo quali formule agiscono su un piano inclinato e quali equazioni le collegano.

Il primo problema che incontriamo negli esercizi sul piano inclinato è che la maggior parte delle forze agisce in una direzione parallela o perpendicolare al piano inclinato. Quindi i tipici assi delle coordinate (un asse verticale e un asse orizzontale) non sono molto utili per questo tipo di problemi. Ecco perché, in generale, nei piani inclinati lavoriamo con un sistema di coordinate diverso:

In fisica, per risolvere un problema del piano inclinato, utilizziamo due assi diversi: un primo asse la cui direzione è parallela al piano inclinato e, dall’altro, un secondo asse la cui direzione è perpendicolare al piano inclinato.

Inoltre, come puoi vedere nell’immagine, su un piano inclinato (se c’è attrito) agiscono generalmente tre diverse forze : la forza peso, la forza normale e la forza di attrito (o forza di attrito). Ma logicamente, se non c’è attrito sul piano inclinato, la forza di attrito viene trascurata.

Tuttavia la forza peso si scompone vettorialmente in due componenti: una componente parallela al piano inclinato ed un’altra componente perpendicolare al piano inclinato. In questo modo tutte le forze possono essere espresse negli assi di lavoro del piano inclinato. Pertanto le due componenti del peso del corpo appoggiato sul piano inclinato si calcolano dal seno e dal coseno dell’angolo di inclinazione:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Infine, le forze agenti su un piano inclinato possono essere messe in relazione dalle due formule seguenti:

Si noti che, se la formulazione del problema non dice diversamente, il corpo sul piano inclinato potrebbe scivolare lungo il pendio, motivo per cui nell’equazione per l’asse parallelo al piano è inclusa una possibile accelerazione. D’altra parte il corpo non può muoversi nella direzione dell’asse perpendicolare al piano inclinato, quindi la somma delle forze è zero.

Esempio risolto del piano inclinato

Per farti vedere come vengono risolti i problemi del piano inclinato in fisica, puoi vedere un esempio risolto passo dopo passo di seguito.

Posizioniamo un corpo di massa m=6 kg sulla sommità di un piano inclinato di 45º. Se il corpo scivola sul piano inclinato con un’accelerazione di 4 m/s ² , qual è il coefficiente di attrito dinamico tra la superficie del piano inclinato e quella del corpo? Dati: g=10 m/s ² .

problema del coefficiente di attrito o attrito dinamico

La prima cosa che dobbiamo fare per risolvere qualsiasi problema di fisica riguardante la dinamica è disegnare il diagramma di corpo libero. Quindi tutte le forze che agiscono sul sistema sono:

esercizio risolto del coefficiente di attrito o attrito dinamico

Nella direzione dell’asse 1 (parallelo al piano inclinato) il corpo ha un’accelerazione, invece, nella direzione dell’asse 2 (perpendicolare al piano inclinato) il corpo è fermo. Da queste informazioni stabiliamo le equazioni delle forze del sistema:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

Quindi, possiamo calcolare la forza normale dalla seconda equazione:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

Calcoliamo invece il valore della forza di attrito (o forza di attrito) dalla prima equazione presentata:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

E una volta conosciuto il valore della forza normale e della forza di attrito, possiamo determinare il coefficiente di attrito dinamico utilizzando la formula corrispondente:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Esercizi risolti sul piano inclinato

Esercizio 1

Posizioniamo un corpo di massa m=2 kg sulla sommità di un piano inclinato con un angolo di inclinazione di 30º. Qual è il coefficiente di attrito tra la rampa e il corpo se quest’ultimo rimane in equilibrio? Dati: g=9,81 m/s ²

Vedi la soluzione

Come in ogni problema di fisica che coinvolge forze, la prima cosa da fare è disegnare il diagramma di corpo libero del sistema. Quindi, tutte le forze che agiscono in questo sistema sono:

risolvere l’esercizio della forza normale e della forza di attrito

Quindi, affinché il sistema sia in equilibrio, la somma delle forze sugli assi 1 e 2 deve essere uguale a zero. Pertanto sono vere le seguenti equazioni:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

Possiamo ora calcolare il valore della forza normale dalla seconda equazione:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

D’altra parte, determiniamo il valore della forza di attrito utilizzando la prima equazione:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Allo stesso modo, la forza di attrito può essere correlata alla forza normale e al coefficiente di attrito utilizzando la seguente formula:

$F_R=\mu \cdot N$

Risolviamo quindi il coefficiente di attrito dall’equazione e calcoliamo il suo valore:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Esercizio 2

Come vediamo nel seguente sistema formato da un piano inclinato e da una carrucola, due corpi sono collegati da una fune e da una carrucola di massa trascurabile. Se il corpo 2 ha massa m ₂ = 7 kg e l’inclinazione della rampa è 50º, calcolare la forza normale che il piano inclinato esercita sul corpo di massa m ₁ affinché l’intero sistema sia in equilibrio. Trascura la forza di attrito durante l’esercizio.

Vedi la soluzione

Il corpo 1 si trova su un pendio inclinato, quindi la prima cosa da fare è vettorizzare la forza del suo peso per avere le forze sugli assi del pendio:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Pertanto l’insieme delle forze che agiscono sull’intero sistema sono:

esercizio di equilibrio traslazionale risolto

La formulazione del problema ci dice che il sistema di forze è in equilibrio, quindi i due corpi devono essere in equilibrio. Da queste informazioni possiamo proporre le equazioni di equilibrio dei due corpi:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

Dall’equazione precedente possiamo calcolare la massa del corpo 1:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

Se invece guardiamo il diagramma delle forze del sistema, osserviamo che la forza normale deve essere pari alla componente vettoriale del peso del corpo 1 perpendicolare al piano inclinato.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Quindi, da questa equazione possiamo trovare il valore della forza normale:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

Dalla seconda equazione possiamo calcolare la forza normale agente sulla slitta

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Poiché ora conosciamo il valore della forza normale e il coefficiente di attrito dinamico, possiamo calcolare la forza di attrito applicando la formula corrispondente:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Quindi, per determinare la velocità finale, dobbiamo prima trovare l’accelerazione della slitta, e questa può essere calcolata dalla prima equazione della forza presentata:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Una volta conosciuta l’accelerazione della slitta, calcoliamo il tempo impiegato per percorrere i 20 metri con l’equazione del moto rettilineo ad accelerazione costante:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Logicamente escludiamo la soluzione negativa poiché il tempo è una grandezza fisica che non può essere negativa.

Infine, calcoliamo la velocità finale utilizzando la formula dell’accelerazione costante:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$