Questo articolo spiega cosa sono le onde stazionarie in fisica. Troverai quindi l’equazione delle onde stazionarie, quali sono le caratteristiche delle onde stazionarie e, inoltre, quali sono i diversi tipi di onde stazionarie.
Cos’è un’onda stazionaria?
Un’onda stazionaria è un disturbo oscillatorio i cui picchi oscillano verticalmente ma non avanzano longitudinalmente. Le onde stazionarie sono il risultato dell’interferenza tra due o più onde, che consiste nella sovrapposizione di onde aventi le stesse caratteristiche ma che si muovono in direzioni opposte.
Nella maggior parte dei casi, le onde stazionarie sono causate dal fenomeno fisico della risonanza, in modo tale che si verifica un’interferenza onda-onda tra un’onda e la sua onda riflessa in un mezzo risonatore.
Ad esempio, quando attacchiamo una corda elastica ad un muro ad un’estremità e facciamo vibrare la corda, si produce un’onda stazionaria. La corda oscilla e le vibrazioni si riflettono sull’estremità fissa della corda, quindi le due onde si sovrappongono e si forma un’onda stazionaria.
Il grafico sopra mostra un’onda stazionaria (onda rossa) insieme alle onde che si sovrappongono per formare l’onda stazionaria (onde verdi e blu). Come puoi vedere, l’onda verde si muove verso destra, l’onda blu si muove verso sinistra e, viceversa, l’onda stazionaria non si muove orizzontalmente ma vibra solo verticalmente.
Le onde stazionarie furono descritte per la prima volta nel 1831 dal fisico inglese Michael Faraday. Tuttavia, il nome “onda stazionaria” fu coniato nel 1860 dal fisico tedesco Franz Melde.
Equazione di un’onda stazionaria
L’equazione per una condizione stazionaria è il doppio dell’ampiezza delle onde originali per il prodotto del seno del numero d’onda per l’allungamento e il coseno della frequenza angolare per il tempo. Quindi l’equazione per un’onda stazionaria è y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .
Oro:
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è l’allungamento del punto studiato dell’onda stazionaria.
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è l’ampiezza delle onde originali.
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è il numero d’onda.
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è la posizione del punto studiato dell’onda stazionaria.
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è la frequenza angolare o di pulsazione.
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è il momento del tempo.
Nota: esistono diversi modi per esprimere l’equazione delle onde stazionarie, quindi a seconda del libro potresti trovare un’equazione leggermente diversa. Tuttavia, in fisica, l’equazione delle onde stazionarie più utilizzata è quella presentata in questo articolo.
Si noti che il numero d’onda e la frequenza angolare di un’onda stazionaria vengono calcolati utilizzando le seguenti formule:
![\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd9a9c86ac7bfe615da6e49025b8b40f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oro:
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è il numero d’onda.
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è la lunghezza d’onda, cioè la distanza tra due punti equivalenti dell’onda stazionaria.
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è la frequenza angolare o di pulsazione.
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è il periodo definito come il tempo che intercorre tra il momento in cui l’onda passa attraverso un punto e il momento in cui passa nuovamente attraverso un punto equivalente.
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è la frequenza, ovvero il numero di oscillazioni dell’onda nell’unità di tempo.
Date due onde di propagazione definite dalle seguenti equazioni:
![\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da9c518dd5d8c55b8ec331431c3b4198_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’onda stazionaria è la somma delle due onde oscillatorie, quindi l’equazione dell’onda stazionaria sarà la somma delle due equazioni precedenti:
![\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a035d8a9e422ca3984acb2bd87f96f0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Applicheremo quindi le seguenti formule trigonometriche:
Quindi, applicando le precedenti formule trigonometriche arriviamo all’equazione delle onde stazionarie:
![\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8137cf4db2e711b343e2ee3226bcdfe2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nodi e antinodi di un’onda stazionaria
Qualsiasi onda stazionaria è costituita da nodi e antinodi, definiti come segue:
- Nodi : sono i punti dell’onda stazionaria il cui allungamento è minimo (y=0). Questi punti sono completamente stazionari, poiché non si muovono né orizzontalmente né verticalmente.
- Pance (o pance) : sono i punti dell’onda stazionaria il cui allungamento è massimo (y = 2A oppure y = -2A). Questi punti oscillano verticalmente dall’allungamento y=2A a y=-2A.
Onde stazionarie con entrambe le estremità fisse
Quando le onde stazionarie vengono generate con entrambe le estremità fisse, significa che le estremità dell’onda sono nodi. Questo tipo di onde stazionarie viene effettuato in tubi chiusi su entrambi i lati o mediante corde vibranti fissate alle estremità.
Ad esempio, quando facciamo vibrare le corde di una chitarra, generiamo onde stazionarie le cui due estremità sono fisse.
In questo caso, la lunghezza d’onda e la frequenza dell’onda stazionaria sono definite dalle seguenti formule:
![\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a602b1c2e671ce2b9f7ec1702c3e91df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oro:
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è la lunghezza d’onda.
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è la lunghezza della corda.
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è il numero armonico (n=1, 2, 3, 4…).
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è la frequenza naturale o armonica.
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è la velocità di propagazione delle onde.
Come puoi vedere nell’immagine sopra, il numero di antinodi e il numero di nodi dipendono dal numero armonico. Il numero di antinodi di un’onda stazionaria con entrambe le estremità fisse è equivalente al numero armonico, mentre il numero di nodi è il numero armonico più uno.
Onde stazionarie con entrambe le estremità libere
Infine, le onde stazionarie possono anche avere entrambe le estremità libere , in modo che entrambe le estremità dell’onda stazionaria siano antinodi.
Questi tipi di onde stazionarie vengono generate in molti strumenti a fiato perché entrambe le estremità sono aperte.
La lunghezza d’onda e la frequenza di un’onda stazionaria con entrambe le estremità aperte vengono calcolate utilizzando le seguenti formule:
![\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cacd0cbaa519db536382349834eb0142_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oro:
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è la lunghezza d’onda.
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è la lunghezza della corda.
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è il numero armonico (n=1, 2, 3, 4…).
-
è la frequenza naturale o armonica.
-
è la velocità di propagazione dell’onda.
Se guardi l’immagine sopra, questi tipi di onde stazionarie hanno tanti nodi quanto il numero armonico. Al contrario, il numero di antinodi di questa classe di onde stazionarie è il numero armonico più uno.
Onde stazionarie con un’estremità fissa e una estremità libera
Quando l’onda si propaga in un mezzo in cui un’estremità è fissa e l’altra estremità è libera , ciò implica che un’estremità dell’onda sarà un nodo e l’altra estremità dell’onda sarà un antinodo.
Questi tipi di onde stazionarie si verificano in molti strumenti musicali, ad esempio le onde generate in una tromba, un flauto o un clarinetto hanno un’estremità fissa, attraverso la quale il musicista soffia, e un’altra estremità libera, attraverso la quale il musicista soffia. Lo strumento.
In questo caso, la lunghezza e la frequenza dell’onda stazionaria possono essere calcolate con le seguenti formule:
![\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79cd7218a7a133578e1c7cdf3b6b21f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oro:
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è la lunghezza d’onda.
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è la lunghezza della corda.
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è il parametro che determina il numero armonico (n=1, 2, 3, 4…).
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è la frequenza naturale o armonica.
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è la velocità di propagazione dell’onda.
Nota: tenere presente che in questo caso esistono solo armoniche dispari (1, 3, 5, 7…), perché in questo tipo di onde stazionarie è possibile generare solo multipli dispari della frequenza fondamentale.
In questo caso l’onda stazionaria ha lo stesso numero di nodi degli antinodi. Concretamente l’onda stazionaria ha tanti nodi e tanti antinodi quanto è il valore del parametro n dell’armonica: