Dieser Artikel erklärt, was stehende Wellen in der Physik sind. So finden Sie die Gleichung stehender Wellen, welche Eigenschaften stehende Wellen haben und darüber hinaus, welche verschiedenen Arten von stehenden Wellen es gibt.
Was ist eine stehende Welle?
Eine stehende Welle ist eine oszillierende Störung, deren Spitzen vertikal oszillieren, sich aber nicht in Längsrichtung ausbreiten. Stehende Wellen sind das Ergebnis der Interferenz zwischen zwei oder mehr Wellen, die aus der Überlagerung von Wellen mit gleichen Eigenschaften besteht, die sich jedoch in entgegengesetzte Richtungen bewegen.
In den meisten Fällen werden stehende Wellen durch das physikalische Phänomen der Resonanz verursacht, sodass es zu einer Welle-zu-Welle-Interferenz zwischen einer Welle und ihrer reflektierten Welle in einem Resonatormedium kommt.
Wenn wir beispielsweise ein elastisches Seil an einem Ende an einer Wand befestigen und das Seil in Schwingungen versetzen, entsteht eine stehende Welle. Die Saite schwingt und die Schwingungen werden am festen Ende der Saite reflektiert, sodass sich die beiden Wellen überlagern und eine stehende Welle entsteht.
Die obige Grafik zeigt eine stehende Welle (rote Welle) zusammen mit den Wellen, die sich überlappen, um die stehende Welle zu bilden (grüne und blaue Welle). Wie Sie sehen können, bewegt sich die grüne Welle nach rechts, die blaue Welle nach links und umgekehrt bewegt sich die stehende Welle nicht horizontal, sondern vibriert nur vertikal.
Stehende Wellen wurden erstmals 1831 vom englischen Physiker Michael Faraday beschrieben. Der Name „stehende Welle“ wurde jedoch 1860 vom deutschen Physiker Franz Melde geprägt.
Gleichung einer stehenden Welle
Die Gleichung für eine stationäre Welle ist das Doppelte der Amplitude der ursprünglichen Wellen mal dem Produkt aus dem Sinus der Wellenzahl mal der Dehnung und dem Kosinus der Kreisfrequenz mal der Zeit. Die Gleichung für eine stehende Welle lautet also y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .
Gold:
-
ist die Dehnung des untersuchten Punktes der stehenden Welle.
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ist die Amplitude der ursprünglichen Wellen.
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ist die Wellenzahl.
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ist die Position des untersuchten Punktes der stehenden Welle.
-
ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
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ist der Moment der Zeit.
Hinweis: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Stehwellengleichung auszudrücken. Je nach Buch finden Sie daher möglicherweise eine etwas andere Gleichung. Die in der Physik am häufigsten verwendete Stehwellengleichung ist jedoch die in diesem Artikel vorgestellte.
Beachten Sie, dass die Wellenzahl und die Kreisfrequenz einer stehenden Welle anhand der folgenden Formeln berechnet werden:
![\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd9a9c86ac7bfe615da6e49025b8b40f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
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ist die Wellenzahl.
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ist die Wellenlänge, also der Abstand zwischen zwei äquivalenten Punkten der stehenden Welle.
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ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
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ist der Zeitraum, der als die Zeit zwischen dem Durchgang der Welle durch einen Punkt und dem erneuten Durchgang durch einen entsprechenden Punkt definiert ist.
-
ist die Frequenz, also die Anzahl der Schwingungen der Welle pro Zeiteinheit.
Gegeben sind zwei Ausbreitungswellen, die durch die folgenden Gleichungen definiert sind:
![\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da9c518dd5d8c55b8ec331431c3b4198_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die stehende Welle ist die Summe der beiden oszillierenden Wellen, daher ist die Stehwellengleichung die Summe der beiden vorherigen Gleichungen:
![\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a035d8a9e422ca3984acb2bd87f96f0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir wenden dann die folgenden trigonometrischen Formeln an:
Durch Anwendung der vorherigen trigonometrischen Formeln gelangen wir also zur Gleichung der stehenden Wellen:
![\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8137cf4db2e711b343e2ee3226bcdfe2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Knoten und Bäuche einer stehenden Welle
Jede stehende Welle besteht aus Knoten und Bäuchen, die wie folgt definiert sind:
- Knoten : sind die Punkte der stehenden Welle, deren Ausdehnung minimal ist (y=0). Diese Punkte sind völlig stationär, da sie sich weder horizontal noch vertikal bewegen.
- Bäuche (oder Bäuche) : Dies sind die Punkte der stehenden Welle, deren Dehnung maximal ist (y = 2A oder y = -2A). Diese Punkte oszillieren vertikal von der Dehnung y=2A bis y=-2A.
Stehende Wellen mit fixierten Enden
Wenn stehende Wellen erzeugt werden, bei denen beide Enden fixiert sind, bedeutet dies, dass die Enden der Welle Knoten sind. Diese Art von stehenden Wellen wird in beidseitig geschlossenen Rohren oder durch an den Enden befestigte Schwingseile realisiert.
Wenn wir beispielsweise die Saiten einer Gitarre zum Schwingen bringen, erzeugen wir stehende Wellen, deren beide Enden fixiert sind.
In diesem Fall werden Wellenlänge und Frequenz der stehenden Welle durch die folgenden Formeln definiert:
![\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a602b1c2e671ce2b9f7ec1702c3e91df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
ist die Wellenlänge.
-
ist die Länge der Zeichenfolge.
-
ist die harmonische Zahl (n=1, 2, 3, 4…).
-
ist die natürliche oder harmonische Frequenz.
-
ist die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung.
Wie Sie im Bild oben sehen können, hängen die Anzahl der Bäuche und die Anzahl der Knoten von der harmonischen Zahl ab. Die Anzahl der Schwingungsbäuche einer stehenden Welle, deren beide Enden fixiert sind, entspricht der harmonischen Zahl, während die Anzahl der Knoten der harmonischen Zahl plus eins entspricht.
Stehende Wellen mit freien Enden
Schließlich können stehende Wellen auch beide Enden frei haben , so dass beide Enden der stehenden Welle Schwingungsbäuche sind.
Solche stehenden Wellen entstehen bei vielen Blasinstrumenten, weil beide Enden offen sind.
Wellenlänge und Frequenz einer stehenden Welle mit beidseitig offenen Enden werden nach folgenden Formeln berechnet:
![\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cacd0cbaa519db536382349834eb0142_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
ist die Wellenlänge.
-
ist die Länge der Zeichenfolge.
-
ist die harmonische Zahl (n=1, 2, 3, 4…).
-
ist die natürliche oder harmonische Frequenz.
-
ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Wenn Sie sich das Bild oben ansehen, haben diese Arten von stehenden Wellen so viele Knoten wie die harmonische Zahl. Im Gegensatz dazu beträgt die Anzahl der Schwingungsbäuche dieser Klasse stehender Wellen die harmonische Zahl plus eins.
Stehende Wellen mit einem festen Ende und einem freien Ende
Wenn sich die Welle in einem Medium ausbreitet, in dem ein Ende fest und das andere Ende frei ist , bedeutet dies, dass ein Ende der Welle ein Knoten und das andere Ende der Welle ein Schwingungsbauch ist.
Diese Arten von stehenden Wellen treten bei vielen Musikinstrumenten auf. Beispielsweise haben die Wellen, die in einer Trompete, Flöte oder Klarinette erzeugt werden, ein festes Ende, durch das der Musiker bläst, und ein anderes freies Ende, durch das der Musiker bläst. Das Instrument.
In diesem Fall können Länge und Frequenz der stehenden Welle nach folgenden Formeln berechnet werden:
![\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79cd7218a7a133578e1c7cdf3b6b21f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
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ist die Wellenlänge.
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ist die Länge der Zeichenfolge.
-
ist der Parameter, der die harmonische Zahl bestimmt (n=1, 2, 3, 4…).
-
ist die natürliche oder harmonische Frequenz.
-
ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Hinweis: Beachten Sie, dass in diesem Fall nur ungerade Harmonische existieren (1, 3, 5, 7…), da bei dieser Art von stehenden Wellen nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz erzeugt werden können.
In diesem Fall hat die stehende Welle die gleiche Anzahl Knoten wie Schwingungsbäuche. Konkret hat die stehende Welle so viele Knoten und so viele Bäuche, wie der Wert des Parameters n der Harmonischen beträgt: