▷ Schiefe Ebene (Physik): Formeln und Übungen gelöst

Dieser Artikel erklärt, was schiefe Ebenen in der Physik sind und wie Probleme dieser Art gelöst werden. Sie finden die Formeln für die Kräfte, die auf einer schiefen Ebene wirken, und können zusätzlich mit Schritt für Schritt gelösten Übungen auf der schiefen Ebene trainieren.

Was ist eine schiefe Ebene?

Eine schiefe Ebene ist eine um einen bestimmten Winkel geneigte Fläche. In der Physik wird die schiefe Ebene zum Üben von Kraftproblemen verwendet.

Beispielsweise sind eine Rampe oder eine abschüssige Straße schiefe Ebenen.

Durch die schiefe Ebene können Sie einen Gegenstand mit weniger Kraft transportieren. Da das Schieben eines Objekts auf einer schiefen Ebene weniger Kraft erfordert als das vertikale Heben.

Auch die schiefe Ebene gilt als eine der sechs klassischen einfachen Maschinen.

Formeln für schiefe Ebenen

Nachdem wir nun die Definition einer schiefen Ebene kennen, wollen wir sehen, welche Formeln auf eine schiefe Ebene wirken und welche Gleichungen sie verbinden.

Das erste Problem, auf das wir bei Übungen auf der schiefen Ebene stoßen, besteht darin, dass die meisten Kräfte in einer Richtung parallel oder senkrecht zur schiefen Ebene wirken. Daher sind die typischen Koordinatenachsen (eine vertikale und eine horizontale Achse) für diese Art von Problemen nicht sehr nützlich. Aus diesem Grund arbeiten wir in schiefen Ebenen im Allgemeinen mit einem anderen Koordinatensystem:

In der Physik verwenden wir zur Lösung eines Problems einer schiefen Ebene zwei verschiedene Achsen: eine erste Achse, deren Richtung parallel zur schiefen Ebene verläuft, und andererseits eine zweite Achse, deren Richtung senkrecht zur schiefen Ebene verläuft.

Wie Sie im Bild sehen können, wirken außerdem im Allgemeinen drei verschiedene Kräfte auf eine schiefe Ebene (sofern Reibung vorhanden ist): die Gewichtskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft (oder Reibungskraft). Aber logischerweise wird die Reibungskraft vernachlässigt, wenn auf der schiefen Ebene keine Reibung vorhanden ist.

Allerdings wird die Gewichtskraft vektorisch in zwei Komponenten zerlegt: eine Komponente parallel zur schiefen Ebene und eine weitere Komponente senkrecht zur schiefen Ebene. Auf diese Weise können alle Kräfte in den Arbeitsachsen der schiefen Ebene ausgedrückt werden. Somit werden die beiden Gewichtskomponenten des auf der schiefen Ebene ruhenden Körpers aus dem Sinus und dem Kosinus des Neigungswinkels berechnet:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

Schließlich können die auf eine schiefe Ebene wirkenden Kräfte durch die folgenden zwei Formeln in Beziehung gesetzt werden:

Beachten Sie, dass der Körper auf der schiefen Ebene, wenn in der Problemstellung nichts anderes angegeben ist, den Hang hinunterrutschen könnte, weshalb eine mögliche Beschleunigung in die Gleichung für die Achse parallel zur Ebene einbezogen wird. Andererseits kann sich der Körper nicht in Richtung der Achse senkrecht zur schiefen Ebene bewegen, sodass die Summe der Kräfte Null ist.

Gelöstes Beispiel der schiefen Ebene

Damit Sie sehen können, wie Probleme der schiefen Ebene in der Physik gelöst werden, sehen Sie unten ein Schritt-für-Schritt-Lösungsbeispiel.

Wir platzieren einen Körper mit der Masse m=6 kg auf der Spitze einer um 45° geneigten Ebene. Wenn der Körper mit einer Beschleunigung von 4 m/s ² auf der schiefen Ebene gleitet, wie groß ist dann der dynamische Reibungskoeffizient zwischen der Oberfläche der schiefen Ebene und der des Körpers? Daten: g=10 m/s ² .

Problem des Reibungskoeffizienten oder der dynamischen Reibung

Das erste, was wir tun müssen, um ein physikalisches Problem in Bezug auf die Dynamik zu lösen, ist das Zeichnen des Freikörperdiagramms. Alle auf das System wirkenden Kräfte sind also:

Aufgabe des Reibungskoeffizienten bzw. der dynamischen Reibung gelöst

In Richtung der Achse 1 (parallel zur schiefen Ebene) erfährt der Körper eine Beschleunigung, in Richtung der Achse 2 (senkrecht zur schiefen Ebene) befindet sich der Körper jedoch in Ruhe. Aus diesen Informationen stellen wir die Gleichungen der Kräfte des Systems auf:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

Wir können also die Normalkraft aus der zweiten Gleichung berechnen:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

Andererseits berechnen wir den Wert der Reibungskraft (oder Reibungskraft) aus der ersten dargestellten Gleichung:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

Und sobald wir den Wert der Normalkraft und der Reibungskraft kennen, können wir den dynamischen Reibungskoeffizienten mithilfe der entsprechenden Formel bestimmen:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

Auf der schiefen Ebene gelöste Übungen

Übung 1

Wir platzieren einen Körper mit der Masse m=2 kg auf der Spitze einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 30°. Wie groß ist der Reibungskoeffizient zwischen der Rampe und dem Körper, wenn dieser im Gleichgewicht bleibt? Daten: g=9,81 m/s ²

Sehen Sie sich die Lösung an

Wie bei jedem physikalischen Problem, bei dem es um Kräfte geht, besteht das erste, was man tun muss, darin, das Freikörperdiagramm des Systems zu zeichnen. Alle Kräfte, die in diesem System wirken, sind also:

Lösen Sie die Ausübung von Normalkraft und Reibungskraft

Damit das System im Gleichgewicht ist, muss die Summe der Kräfte auf den Achsen 1 und 2 gleich Null sein. Daher gelten die folgenden Gleichungen:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

Den Wert der Normalkraft können wir nun aus der zweiten Gleichung berechnen:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

Andererseits ermitteln wir den Wert der Reibungskraft anhand der ersten Gleichung:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

Ebenso kann die Reibungskraft mithilfe der folgenden Formel mit der Normalkraft und dem Reibungskoeffizienten in Beziehung gesetzt werden:

$F_R=\mu \cdot N$

Wir lösen daher den Reibungskoeffizienten aus der Gleichung und berechnen seinen Wert:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

Übung 2

Wie wir im folgenden System sehen, das aus einer schiefen Ebene und einer Rolle besteht, sind zwei Körper durch ein Seil und eine Rolle mit vernachlässigbarer Masse verbunden. Wenn Körper 2 die Masse m ₂ = 7 kg hat und die Neigung der Rampe 50° beträgt, berechnen Sie die Normalkraft, die die schiefe Ebene auf den Körper mit der Masse m ₁ ausübt, sodass sich das gesamte System im Gleichgewicht befindet. Vernachlässigen Sie während der gesamten Übung die Reibungskraft.

Problem des translatorischen Gleichgewichts

Sehen Sie sich die Lösung an

Da sich Körper 1 auf einem geneigten Hang befindet, müssen Sie zunächst die Kraft seines Gewichts vektorisieren, um die Kräfte auf den Achsen des Hangs zu erhalten:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Die Kräfte, die auf das gesamte System wirken, sind also:

translatorische Gleichgewichtsübung gelöst

Die Problemstellung sagt uns, dass das Kräftesystem im Gleichgewicht ist, also müssen sich die beiden Körper im Gleichgewicht befinden. Aus diesen Informationen können wir die Gleichgewichtsgleichungen der beiden Körper vorschlagen:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

Aus der vorherigen Gleichung können wir die Masse von Körper 1 berechnen:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

Betrachten wir andererseits das Kraftdiagramm des Systems, stellen wir fest, dass die Normalkraft gleich der Vektorkomponente des Gewichts von Körper 1 senkrecht zur schiefen Ebene sein muss.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

Aus dieser Gleichung können wir also den Wert der Normalkraft ermitteln:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“213″ width=“8731″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

Aus der zweiten Gleichung können wir die auf den Schlitten wirkende Normalkraft berechnen

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

Da wir nun den Wert der Normalkraft und den dynamischen Reibungskoeffizienten kennen, können wir die Reibungskraft berechnen, indem wir die entsprechende Formel anwenden:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

Um die Endgeschwindigkeit zu bestimmen, müssen wir also zunächst die Beschleunigung des Schlittens ermitteln, und diese kann aus der ersten vorgestellten Kraftgleichung berechnet werden:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

Sobald wir die Beschleunigung des Schlittens kennen, berechnen wir die Zeit, die wir brauchen, um die 20 Meter zurückzulegen, mit der Gleichung der geradlinigen Bewegung bei konstanter Beschleunigung:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

Logischerweise schließen wir die negative Lösung aus, da Zeit eine physikalische Größe ist, die nicht negativ sein kann.

Abschließend berechnen wir die Endgeschwindigkeit mithilfe der Formel für konstante Beschleunigung:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$

Schiefe ebene