In diesem Artikel wird erläutert, was Zahlennäherung ist und wie sie durchgeführt wird. Daher finden Sie die verschiedenen Arten der Näherung, die es gibt, sowie mehrere Beispiele für jede davon.
Was ist Zahlennäherung?
In der Mathematik ist Approximation ein Prozess, bei dem eine Zahl in eine andere, sehr nahe liegende Zahl umgewandelt wird. Mit anderen Worten bedeutet die Annäherung an eine Zahl , dass ihr Wert geändert und auf eine sehr nahe kommende Zahl gerundet wird.
Im Allgemeinen wird das Symbol ≈ verwendet, um die Annäherung an eine Zahl darzustellen, obwohl auch die Symbole ~ oder =~ verwendet werden können, diese sind jedoch informeller.
Der Näherungswert ist also die Zahl, deren wahrer Wert geschlossen ist. Und der Unterschied zwischen beiden ist der Näherungsfehler.
Approximation natürlicher Zahlen
Die Annäherung an natürliche Zahlen besteht darin, die Zahl, die wir annähern möchten, um 1 zu erhöhen oder dieselbe Zahl beizubehalten, und die restlichen Zahlen auf der rechten Seite werden zu 0.
- Wenn die Ziffer nach der letzten signifikanten Ziffer größer oder gleich 5 ist, wird die letzte signifikante Ziffer um 1 erhöht ( aufgerundet ).
- Wenn die auf die letzte signifikante Ziffer folgende Ziffer kleiner als 5 ist, wird die letzte signifikante Ziffer nicht geändert ( abgerundet bzw. abgerundet ).
Wenn wir beispielsweise die Hunderterzahl auf die Zahl 1574 runden, erhalten wir die Zahl 1600, da die Zahl nach der Hunderterstelle (7) größer als 5 ist.
Allerdings bleibt die Zehnernäherung der Zahl 891 bei 890, da die Ziffer, die nach der Zehner kommt, die Ziffer 1 ist und somit kleiner als 5 ist.
Unten sehen Sie weitere Beispiele für natürliche Zahlennäherungen :
- Annäherung an Zehner von 1352 → 1350
- Annäherung an Hunderter von 45851 → 45900
- Annäherung an Tausender 923802 → 924000.
Annähernde Dezimalzahlen
Es gibt zwei verschiedene Methoden zur Approximation von Dezimalzahlen :
- Rundung : Je nach Fall wird die letzte signifikante Dezimalstelle um 1 erhöht oder unverändert beibehalten.
- Kürzung : Die letzte signifikante Dezimalstelle bleibt immer gleich.
Jede Art von Ansatz wird im Folgenden ausführlich erläutert.
Runden
Beim Runden werden alle Dezimalstellen nach der letzten signifikanten Dezimalstelle eliminiert und zusätzlich wird die Dezimalstelle, auf die gerundet werden soll, je nach Fall um 1 erhöht bzw. beibehalten:
- Ist die der letzten Dezimalstelle folgende Dezimalstelle größer oder gleich 5, wird die letzte Dezimalstelle um 1 erhöht ( aufgerundet ).
- Ist die Nachkommastelle nach der letzten Nachkommastelle kleiner als 5, bleibt die letzte Nachkommastelle gleich ( auf- oder abgerundet ).
Beispielsweise ist die auf das nächste Zehntel gerundete Dezimalzahl 3,14159265 3,1, da die nächste Dezimalzahl (4) kleiner als 5 ist.
Runden wir hingegen die Dezimalzahl 52,84917 auf das nächste Hundertstel, erhalten wir 52,85, da die nächste Dezimalstelle (9) größer als 5 ist.
Weitere Beispiele für das Runden von Dezimalzahlen sind unten aufgeführt:
- Auf das nächste Zehntel von 445,945 → 445,9 gerundet
- Gerundet auf das nächste Hundertstel von 7,03522 → 7,04
- Auf das nächste Tausendstel von 39,802719 → 39,803 gerundet
Kürzung
Durch die Kürzung wird die Anzahl der Dezimalstellen reduziert, indem weniger signifikante Stellen entfernt werden. Mit anderen Worten: Bei der Kürzung werden die Ziffern rechts von der Ziffer gelöscht, um die gekürzt werden soll.
Wenn wir beispielsweise die Zahl 65,71834 durch Abschneiden in Hundertstel annähern, erhalten wir die Zahl 65,71, da wir einfach die Dezimalstellen nach den Hundertsteln entfernen (834).
Beim Abschneiden einer Zahl spielt es also keine Rolle, ob nach der letzten signifikanten Dezimalstelle eine Zahl größer, gleich oder kleiner als 5 steht, da alle nachfolgenden Dezimalstellen immer gestrichen werden müssen.
Wenn Sie sich das letzte Beispiel ansehen, hätten wir 65,72 erhalten, wenn wir die Zahl 65,71834 gerundet hätten. Durch die Trunkierung erhalten wir jedoch 65,71. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die ungefähre Zahl je nach gewählter Näherungsmethode unterschiedlich sein kann.
Unten sehen Sie weitere Beispiele für die Trunkierungsnäherung :
- Kürzung um Einheit 9 634 → 9
- Kürzung um das Zehntel von 4.13558 → 4.1
- Kürzung auf das Hundertstel von 71,0442 → 71,04