▷ Kräfteverhältnis

In diesem Artikel wird erklärt, was ein Kräftegleichgewicht ist und wann ein Körper im Gleichgewicht ist. Sie lernen auch etwas über das Gleichgewicht von Momenten und das Gleichgewicht von Kräften und Momenten. Darüber hinaus können Sie sich ein Beispiel ansehen und anhand einer gelösten Übung zum Kräftegleichgewicht üben.

Gleichgewicht der Kräfte

Ein starrer Körper befindet sich im Kräftegleichgewicht, wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte gleich Null ist. Mit anderen Worten: Ein Körper befindet sich im Kräftegleichgewicht, wenn die resultierende Kraft Null ist.

$\somme \vv{F}=0$

➤ Siehe: Was ist die resultierende Kraft?

Befindet sich ein starrer Körper außerdem im Kräftegleichgewicht, bedeutet dies, dass er keine Beschleunigung erfährt. Daher behält der Körper seine Geschwindigkeit bei oder bewegt sich im Ruhezustand nicht.

Es muss berücksichtigt werden, dass die Summe der Kräfte in jeder Richtung Null sein muss, damit sich ein Körper im Translationsgleichgewicht befindet (drei Richtungen, wenn wir im Raum arbeiten, und zwei Richtungen, wenn wir in der Ebene arbeiten).

$\somme \vv{F_x}=0$

$\somme \vv{F_y}=0$

$\somme \vv{F_z}=0$

Wenn eine der drei vorherigen Bedingungen nicht erfüllt ist, befindet sich der Körper nicht im Kräftegleichgewicht und weist daher eine Beschleunigung auf.

Momentanes Gleichgewicht

Ein starrer Körper befindet sich im Momentengleichgewicht, wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Momente gleich Null ist. Mit anderen Worten: Ein Körper befindet sich im Impulsgleichgewicht, wenn der resultierende Impuls Null ist.

$\somme \vv{M}=0$

Das Momentengleichgewicht ist also analog zum Kräftegleichgewicht, allerdings muss die Summe in allen drei Drehachsen statt in allen drei Längsachsen Null sein.

$\somme \vv{M_x}=0$

$\somme \vv{M_y}=0$

$\somme \vv{M_z}=0$

Es reicht aus, dass eine vorherige Gleichung nicht erfüllt ist, damit sich der starre Festkörper nicht im Momentengleichgewicht befindet und daher eine Rotationsbeschleunigung aufweist, oder mit anderen Worten, der Körper beginnt, sich um sich selbst zu drehen (s ‚er startete aus der Ruhe) .

Gleichgewicht von Kräften und Momenten

Ein starrer Körper befindet sich im Kräfte- und Momentengleichgewicht, wenn die resultierende Kraft und das resultierende Moment Null sind , d. h. ein Körper befindet sich im Kräfte- und Momentengleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte und aller Momente gleich Null ist.

$\sum \vv{F}=0 \qquad \sum\vv{M}=0$

Logischerweise ist ein Körper nur dann im Gleichgewicht, wenn die Summe der Kräfte und Momente auf allen Achsen Null ist.

$\sum \vv{F_x}=0\qquad \sum \vv{M_x}=0$

$\sum \vv{F_y}=0\qquad \sum \vv{M_y}=0$

$\sum \vv{F_z}=0\qquad \sum \vv{M_z}=0$

Wie wir oben gesehen haben, muss ein Körper nicht unbedingt gleichzeitig im Gleichgewicht von Kräften und Momenten sein, er kann sich auch nur im Kräftegleichgewicht befinden und ein gewisses Ungleichgewicht in Momenten aufweisen oder umgekehrt.

Befindet sich ein Körper jedoch sowohl im Gleichgewicht der Kräfte als auch im Gleichgewicht der Momente , spricht man von einem Körper im Gleichgewicht .

Gleichgewichtsbedingungen werden verwendet, um den Wert einer auf einen Körper ausgeübten Kraft zu ermitteln, da sie es uns ermöglichen, Gleichungen zu formulieren und daraus die unbekannten Kräfte zu lösen. Beispielsweise wird die Normalkraft normalerweise durch Angabe der vertikalen Gleichgewichtsgleichung berechnet.

Beispiel für Machtgleichgewichte

Um das Konzept vollständig zu verstehen, schauen wir uns ein typisches Beispiel eines Kräftesystems im Gleichgewicht an.

Beispielsweise befindet sich ein auf dem Boden ruhender Körper im Kräftegleichgewicht, da auf ihn nur die Gewichtskraft und die Normalkraft wirken und einander entgegenwirken. Die Summe der Kräfte und Momente in alle Richtungen ist daher gleich Null.

Auch in diesem Fall befindet sich der Körper im Momentengleichgewicht, da kein Moment auf ihn einwirkt.

Balance-of-Power-Übung gelöst

Wie in der folgenden Abbildung dargestellt, sind zwei Objekte durch ein Seil und eine Rolle mit vernachlässigbarer Masse verbunden. Wenn Objekt 2 eine Masse von 7 kg hat und die Rampe eine Neigung von 50° hat, berechnen Sie die Masse von Objekt 1 so, dass sich das gesamte System im Gleichgewicht befindet. In diesem Fall kann die Reibungskraft vernachlässigt werden.

Sehen Sie sich die Lösung an

Da sich Körper 1 auf einem geneigten Hang befindet, müssen Sie zunächst die Kraft seines Gewichts vektoriell zerlegen, um die Kräfte in den Achsen des Hangs zu erhalten:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

Die Kräfte, die auf das gesamte System wirken, sind also:

Die Problemstellung sagt uns, dass das Kräftesystem im Gleichgewicht ist, also müssen sich die beiden Körper im Gleichgewicht befinden. Aus diesen Informationen können wir die Gleichgewichtsgleichungen der beiden Körper vorschlagen:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2$