▷Einfache harmonische Bewegung (MAS)

Dieser Artikel erklärt, was einfache harmonische Bewegung (SHM) in der Physik ist. So finden Sie die Merkmale einer einfachen harmonischen Bewegung, Beispiele für diese Art von Bewegung und darüber hinaus alle Formeln einer einfachen harmonischen Bewegung.

Was ist Simple Harmonic Motion (SHA)?

Einfache harmonische Bewegung (SHA) , auch einfache harmonische Schwingungsbewegung (MVAS) genannt, ist eine periodische Bewegung, bei der ein sich bewegender Körper eine oszillierende Bahn ausführt. Das heißt, in einer einfachen harmonischen Bewegung schwingt der Körper wiederholt von einer Seite seiner Gleichgewichtsposition zur anderen.

Somit bewegt sich der Körper, der eine einfache harmonische Bewegung beschreibt, immer wieder von seiner zentralen Position, der Gleichgewichtsposition, weg und nähert sich ihr an. Darüber hinaus wird bei dieser Art von Bewegung die Reibung vernachlässigt, sodass die Zeit, die benötigt wird, um dieselbe Position zweimal zu durchlaufen, immer gleich ist und es sich daher um eine periodische Bewegung handelt.

Beispielsweise befindet sich ein Objekt, das an einer an der Decke befestigten Feder hängt, in einer einfachen harmonischen Bewegung (Luftreibung vernachlässigen), da es sich aufgrund der Schwerkraft nach unten und dann aufgrund der elastischen Kraft der Feder wieder nach oben bewegt, sodass es eine oszillierende Bewegung ausführt . seine Gleichgewichtslage.

Beispiel einer einfachen harmonischen Bewegung (MAS)

Beispiele für einfache harmonische Bewegungen

Sobald wir die Definition der einfachen harmonischen Bewegung (MAS) kennengelernt haben, werden wir einige Beispiele dieser Art von Bewegung sehen, um das Konzept besser zu verstehen:

Beispiele für einfache harmonische Bewegungen (SAM):

Die Bewegung eines Körpers, der an einer Feder hängt.
Die oszillierende Bewegung eines Pendels.
Die sich wiederholende Bewegung eines Uhrwerks.
Die Schwingungsbewegung eines Herzschlags.

Bedenken Sie, dass es keine Art von Reibung geben darf, damit alle diese Bewegungen im Laufe der Zeit auf unbestimmte Zeit oszillieren können. In Wirklichkeit kommen diese Bewegungen aufgrund der Reibung mit der Luft oder mit einem Material zum Stillstand. In der Physik wird die Reibung in diesen Fällen jedoch vernachlässigt, weshalb davon ausgegangen wird, dass sie auf unbestimmte Zeit oszillieren.

Eigenschaften einfacher harmonischer Bewegung

Eine einfache harmonische Bewegung besteht aus den folgenden Elementen, die sie charakterisieren:

Dehnung (x) : ist die Position des Körpers, der zu einem bestimmten Zeitpunkt die einfache harmonische Bewegung ausführt. Es stellt die Trennung des Körpers aus seiner Gleichgewichtsposition dar.
Amplitude (A) : ist die maximale Ausdehnung einer einfachen harmonischen Bewegung. Es handelt sich also um die Differenz zwischen der Maximallage und der Gleichgewichtslage.
Periode (T) : ist die Zeit, die der Körper benötigt, um eine vollständige Schwingung durchzuführen.
Frequenz (f) : ist die Anzahl der Schwingungen oder Vibrationen, die der Körper pro Zeiteinheit ausführt.
Phase (φ) : ist der Winkel, der den Schwingungszustand des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt.
Anfangsphase (φ ₀ ) : ist der Winkel, der den anfänglichen Schwingungszustand des Körpers darstellt.
Winkelfrequenz oder Pulsation (ω) : Dies ist die Geschwindigkeit, mit der der Körper Schwingungen ausführt. Das heißt, es gibt die Geschwindigkeit der Phasenänderung einer einfachen harmonischen Bewegung an.

Diagramm der einfachen harmonischen Bewegung (SHM).

Einfache harmonische Bewegungsformeln

Nachfolgend finden Sie die Formeln oder Gleichungen für einfache harmonische Bewegungen. Diese Formeln helfen Ihnen bei der Lösung einfacher harmonischer Bewegungsprobleme.

Position

Die Position eines Teilchens, das eine einfache harmonische Bewegung beschreibt, ist definiert als die Amplitude der Bewegung mal dem Kosinus der Kreisfrequenz mal der Zeit plus der Anfangsphase der Bewegung. Daher lautet die Formel für die Position der einfachen harmonischen Bewegung :

$x(t)=A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

Gold:

$x$

ist die Dehnung des Körpers, der die einfache harmonische Bewegung ausführt.
$A$

ist die Amplitude einer einfachen harmonischen Bewegung.
$\omega$

ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
$t$

ist der Zeitpunkt, zu dem die Position berechnet wird.
$\phi_0$

ist die Anfangsphase einer einfachen harmonischen Bewegung.

Geschwindigkeit

Die momentane Geschwindigkeit eines Körpers ist gleich der Ableitung seiner momentanen Position nach der Zeit. Daher lautet die Formel für die Geschwindigkeit einer einfachen harmonischen Bewegung :

$v(t)=\cfrac{dx(t)}{dt}=-\omega\cdot A\cdot \text{sin}(\omega t+\phi_0)$

Gold:

$v$

ist die momentane Geschwindigkeit des Körpers, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt.
$x$

ist die momentane Position des Körpers, der die einfache harmonische Bewegung ausführt.
$A$

ist die Amplitude einer einfachen harmonischen Bewegung.
$\omega$

ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
$t$

ist der Zeitpunkt, zu dem die Position berechnet wird.
$\phi_0$

ist die Anfangsphase einer einfachen harmonischen Bewegung.

Es ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit eines Körpers, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt, gerade dann maximal ist, wenn er seine Gleichgewichtslage durchläuft. Andererseits ist die Geschwindigkeit des Körpers Null, wenn er sich an einem der Enden der Schwingungen befindet, entweder bei maximaler Dehnung oder bei minimaler Dehnung.

Beschleunigung

Die Momentanbeschleunigung eines Körpers wird berechnet, indem die Gleichung seiner Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit abgeleitet wird. Daher lautet die Formel für die Beschleunigung einer einfachen harmonischen Bewegung :

$a(t)=\cfrac{dv(t)}{dt}=-\omega^2\cdot A\cdot \text{cos}(\omega t+\phi_0)$

Gold:

$a$

ist die augenblickliche Beschleunigung des Körpers, die eine einfache harmonische Bewegung erzeugt.
$v$

ist die momentane Geschwindigkeit des Körpers, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt.
$A$

ist die Amplitude einer einfachen harmonischen Bewegung.
$\omega$

ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
$t$

ist der Zeitpunkt, zu dem die Position berechnet wird.
$\phi_0$

ist die Anfangsphase einer einfachen harmonischen Bewegung.

Bedenken Sie, dass die Beschleunigung maximal ist, wenn sich der Körper, der die einfache harmonische Bewegung beschreibt, in der maximalen oder minimalen Position befindet, d. h. wenn die Dehnung maximal oder minimal ist. Die Beschleunigung des Körpers ist jedoch Null, wenn er sich in seiner Gleichgewichtslage befindet.

Zeitraum und Häufigkeit

Die Periode ist die Zeit, die der Körper benötigt, um eine vollständige Schwingung durchzuführen, also die Zeit, die zwischen dem Moment, in dem er eine Position durchläuft, und dem Moment, in dem er dieselbe Position erneut durchläuft, vergeht. Die Periode entspricht also zwei Pi geteilt durch die Pulsation einer einfachen harmonischen Bewegung.

$T=\cfrac{2\pi}{\omega}$

Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen, die der Körper pro Zeiteinheit ausführt. Die Frequenz einer einfachen harmonischen Bewegung erhält man, indem man ihre Pulsation durch das Zweifache der Zahl pi dividiert.

$f=\cfrac{\omega}{2\pi}$

Periode und Frequenz sind also multiplikative Inverse, d. h. eine dieser Größen kann berechnet werden, wenn die andere mit der folgenden Formel bekannt ist:

$T=\cfrac{1}{f}$

Gold:

$T$

ist der Punkt.
$f$

ist die Frequenz.
$\omega$

ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.

Winkel- oder Pulsationsfrequenz

Die Winkelfrequenz , auch Pulsation genannt, ist die Geschwindigkeit, mit der der Körper in einfacher harmonischer Bewegung schwingt. Die Formel zur Berechnung der Kreisfrequenz lautet wie folgt:

$\displaystyle \omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Gold:

$\omega$

ist die Winkel- oder Pulsationsfrequenz.
$T$

ist der Punkt.
$f$

ist die Frequenz.
$k$

ist die Konstante der oszillierenden Feder.
$m$

ist die Masse des Körpers, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt.

elastische Kraft

Die elastische Kraft , auch Rückstellkraft genannt, ist die Kraft, die ein elastisches Material ausübt, wenn es sich verformt, und daher die Kraft, die die Schwingungen einer einfachen harmonischen Bewegung verursacht. Wenn beispielsweise eine Feder gedehnt oder komprimiert wird, übt sie eine elastische Kraft aus und versucht, in ihre ursprüngliche Position zurückzukehren.

Die Formel für die elastische Kraft lautet:

$F_e=-k\cdot \Delta x$

Gold:

$F$

ist die elastische Kraft, ausgedrückt in Newton.
$k$

ist die elastische Konstante der Feder, deren Einheiten N/m sind.
$\Delta x$

ist die Dehnung, die die Feder erfährt, ausgedrückt in Metern.

Hinweis : Das negative Vorzeichen wird lediglich verwendet, um anzuzeigen, dass die Richtung der elastischen Kraft der Dehnung der Feder entgegengesetzt ist. Wichtig ist, dass die Größe der elastischen Kraft der elastischen Konstante multipliziert mit der Verschiebung entspricht.

elastische Kraft der einfachen harmonischen Bewegung (SHA)

Aus der elastischen Kraftformel können wir leicht ableiten, dass der Elastizitätskraftmodul dann maximal ist, wenn sich die Feder in maximaler Dehnung befindet (in maximaler Position oder in minimaler Position). Ebenso ist die elastische Kraft Null, wenn sich der Körper in der Gleichgewichtslage befindet.

kinetische Energie und potentielle Energie

Kinetische Energie ist die Energie, die einem Körper aufgrund seiner Geschwindigkeit zur Verfügung steht, und potentielle Energie ist andererseits die Energie, die in einem verformbaren Körper (normalerweise einer Feder) aufgrund der von der elastischen Kraft geleisteten Arbeit gespeichert wird. Die Formeln zur Berechnung der kinetischen Energie und der potentiellen Energie bei einer einfachen harmonischen Bewegung lauten also wie folgt:

$\begin{array}{c}E_c=\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\\[4ex]E_p=\cfrac{1}{2}\cdot k\cdot x ^2\end{tableau}$

Ebenso entspricht mechanische Energie der Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie:

$E_m=E_c+E_p$

Gold:

$E_c$

ist die kinetische Energie.
$E_p$

ist die potentielle Energie.
$m$

ist die Masse des Körpers, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt.
$v$

ist die Geschwindigkeit des Körpers, der die einfache harmonische Bewegung ausführt.
$k$

ist die elastische Konstante der Feder, deren Einheiten N/m sind.
$x$

ist die Dehnung des Körpers, die eine einfache harmonische Bewegung beschreibt.
$E_m$

ist mechanische Energie.

Wenn wir außerdem die Reibung nicht berücksichtigen, geht die Energie der Feder nicht verloren, sondern wird umgewandelt (Erhaltungssatz der mechanischen Energie). So kann elastische potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt werden und umgekehrt, die Gesamtenergie wird jedoch nicht reduziert.

$E_{p_i}+E_{c_i}=E_{p_f}+E_{c_f}$

Wenn also die elastische potentielle Energie maximal ist, das heißt, wenn die Feder vollständig gedehnt oder zusammengedrückt ist, ist die kinetische Energie Null. Ebenso ist die elastische potentielle Energie Null, wenn die kinetische Energie maximal ist, d. h. wenn sich die Feder in der Gleichgewichtslage befindet.

elastische potentielle Energie und kinetische Energie

Zusammenfassung einfacher harmonischer Bewegungsformeln

Abschließend hinterlassen wir Ihnen als Zusammenfassung eine Tabelle mit allen Formeln für die einfache harmonische Bewegung (MAS):

Einfache harmonische bewegung (shm)

Was ist Simple Harmonic Motion (SHA)?

Beispiele für einfache harmonische Bewegungen

Eigenschaften einfacher harmonischer Bewegung

Einfache harmonische Bewegungsformeln

Position

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Zeitraum und Häufigkeit

Winkel- oder Pulsationsfrequenz

elastische Kraft

kinetische Energie und potentielle Energie

Zusammenfassung einfacher harmonischer Bewegungsformeln

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