▷ Elliptische Bewegung

Dieser Artikel erklärt, was elliptische Bewegung in der Physik ist. Ebenso finden Sie Beispiele für elliptische Bewegungen, die Formeln einer elliptischen Bewegung und zusätzlich eine Schritt für Schritt gelöste Übung.

Was ist die elliptische Bewegung?

Unter einer elliptischen Bewegung versteht man die Bewegung, bei der der bewegte Körper eine elliptische Bahn beschreibt. Mit anderen Worten: Der Körper, der einer elliptischen Bewegung folgt, hat eine Flugbahn in Form einer Ellipse.

Die Ellipse ist eine krummlinige geometrische Figur, deren eine Achse größer ist als die andere, mit anderen Worten, eine Ellipse ist wie ein abgeflachter Kreis.

Daher besteht das Hauptmerkmal der elliptischen Bewegung darin, dass die Flugbahn des sich bewegenden Körpers elliptisch ist. Daher ist die Geschwindigkeit über den gesamten Weg nicht konstant, aber im Allgemeinen gibt es bei elliptischen Bewegungen Punkte, an denen sich der Körper schneller bewegt als an anderen Punkten.

Beispielsweise ist die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne elliptisch, daher ist die Bahn der Erde um die Sonne ein Beispiel für eine elliptische Bewegung.

Beispiele für elliptische Bewegungen

Sobald wir die Definition der elliptischen Bewegung kennengelernt haben, werden wir uns einige Beispiele aus dem täglichen Leben dieser Art von Bewegung ansehen, um das Konzept besser zu verstehen.

Orbitale Übersetzung : die von Planeten, Asteroiden, Satelliten usw. beschriebenen Flugbahnen. Sie sind elliptisch, daher finden wir viele Beispiele für elliptische Bewegungen im Raum.
Parabolischer Wurf : Der parabolische Wurf ist ein weiteres Beispiel für eine elliptische Bewegung, denn wenn ein Objekt geworfen wird und eine parabolische Flugbahn beschreibt, ist der Krümmungsradius im Allgemeinen nicht konstant, sondern variiert, es handelt sich also nicht um eine kreisförmige Flugbahn, sondern um eine elliptische Bahn.
Der Hula-Hoop-Reifen (oder Hula-Hoop-Reifen) : Obwohl der Reifen, mit dem gespielt wird, kreisförmig ist, ist die Bewegung, die durch den rotierenden Körperteil beschrieben wird, elliptisch.
Das Ellipsentrainer : Ellipsentrainer sind Geräte, die in Fitnessstudios zur körperlichen Betätigung eingesetzt werden. Somit ist die Bewegung der Pedale dieses Fahrradtyps elliptisch.
Die Flugbahn eines Bumerangs : Beim Werfen eines Bumerangs ist die Form der Flugbahn, die dieses Objekt beschreibt, eine Ellipse. Die Flugbahn eines Bumerangs ist daher ein weiteres Beispiel für eine elliptische Bewegung.

Formel für elliptische Bewegung

Im Allgemeinen können die kartesischen Koordinaten eines Körpers, der eine elliptische Bewegung beschreibt, durch zwei parametrische Gleichungen formuliert werden. Daher werden die X-Koordinate und die Y-Koordinate einer elliptischen Bewegung normalerweise als Kosinus bzw. Sinus der Winkelposition definiert.

$\begin{cases}x=a\cdot \text{cos}(\theta )\\[2ex]y=b\cdot \text{sin}(\theta )\end{cases}$

Die Position des Körpers, der eine elliptische Bewegung ausführt, kann auch durch den Ortsvektor beschrieben werden:

$\vv{r}=a\cdot \text{cos}(\theta )\vv{i}+b\cdot \text{sin}(\theta )\vv{j}$

Ebenso kann aus dem Ortsvektor der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor durch Differenzieren nach der Zeit berechnet werden:

$\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

Im Allgemeinen wird die Formel für die Position eines Körpers, der eine elliptische Bewegung ausführt, durch Sinus und Kosinus definiert. Allerdings gibt es je nach Anwendungsbereich auch spezifische Formeln, beispielsweise gibt es eine bestimmte Gleichung, um die elliptische Bewegung eines Planeten zu beschreiben.

Gelöste Übung für die elliptische Bewegung

Die Position eines bewegten Körpers, der eine elliptische Bewegung beschreibt, wird durch die Gleichung definiert
$\vv{r}(t)=0.3\text{cos}(10t)\vv{i}+0.2\text {sin}( 10t)\vv{j} \ m$

. Wie groß ist die Tangentialbeschleunigung des Mobiles zum Zeitpunkt t=π/40 s?

Der Ortsvektor, der die elliptische Bewegung des Problems beschreibt, ist:

$\vv{r}(t)=0,3\text{cos}(10t)\vv{i}+0,2\text{sin}(10t)\vv{j} \ m[/latex ] Ainsi, pour trouver le vecteur vitesse, nous devons dériver le vecteur position par rapport au temps : [latex]\vv{v}=\cfrac{d\vv{r}}{dt}$

$\vv{v}(t)=-3\text{sin}(10t)\vv{i}+2\text{cos}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s }$

Dann leiten wir erneut die erhaltene Gleichung über die Zeit ab, um den Beschleunigungsvektor zu erhalten:

$\vv{a}=\cfrac{d\vv{v}}{dt}$

$\vv{a}(t)=-30\text{cos}(10t)\vv{i}-20\text{sin}(10t)\vv{j} \ \cfrac{m}{s ^2}$

Um schließlich die Beschleunigung zum Zeitpunkt t=π/40 s zu bestimmen, ersetzen Sie einfach den Parameter t durch seinen Wert und führen Sie die Berechnungen durch:

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right )\vv{i}-20\text{sin}\left(10\cdot \frac{\pi}{40}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-30\text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv {i}-20\text{sin}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vv{j}$

$\displaystyle \vv{a}\left(\frac{\pi}{40}\right)=-21.21\vv{i}-14.14\vv{j}$