Schwerpunkt: Definition, Formel, Beispiele, Eigenschaften,...

In diesem Artikel wird erklärt, was der Schwerpunkt ist, wie seine Koordinaten berechnet werden und welche Eigenschaften er hat. Darüber hinaus lernen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Schwerpunkt, Masseschwerpunkt und geometrischem Mittelpunkt kennen.

Was ist der Schwerpunkt?

Der Schwerpunkt eines Körpers oder Systems ist der Punkt, an dem vermutlich die gesamte auf die Masse des Körpers oder Systems wirkende Schwerkraft wirkt.

Mit anderen Worten: Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Angriffspunkt der Schwerkraft, die die Erde auf den Körper ausübt.

Beispielsweise ist der Schwerpunkt einer Kugel der Mittelpunkt der Kugel. Dies ist ein einfaches Beispiel für einen Schwerpunkt, da die Masse einer Kugel gleichmäßig über den Körper verteilt ist. Manchmal muss jedoch eine Berechnung durchgeführt werden, um den Schwerpunkt eines Körpers zu bestimmen, wie wir weiter unten sehen werden.

In der Physik wird der Schwerpunkt oft mit cdg oder CDG abgekürzt. Ebenso wird der Schwerpunkt auch Gleichgewichtszentrum oder Gleichgewichtszentrum genannt.

Wie Sie sich vorstellen können, ist es in der Technik beispielsweise sehr wichtig zu wissen, wo der Schwerpunkt eines Systems liegt, um das Gleichgewicht und die Stabilität einer Struktur richtig zu untersuchen.

So berechnen Sie den Schwerpunkt

Um die Koordinaten des Schwerpunkts eines Systems zu berechnen , müssen Sie die Summe der Produkte jeder Masse im System und ihrer Entfernung von einem Referenzpunkt ermitteln und das Ergebnis dann durch die Summe aller Massen dividieren.

Sie müssen diese Formel zweimal verwenden, einmal, um die X-Koordinate des Schwerpunkts zu ermitteln, und ein weiteres Mal, um die Y-Koordinate zu ermitteln. Die Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts lauten also:

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

Wenn Sie dreidimensional arbeiten, müssen Sie die gleiche Formel logischerweise noch einmal analog für die Z-Koordinate anwenden.

Beispiel zur Berechnung des Schwerpunkts

Unter Berücksichtigung der Definition und Formel für den Schwerpunkt finden Sie unten eine Schritt-für-Schritt-Übung, mit der Sie sehen können, wie der Schwerpunkt eines Systems berechnet wird.

Berechnen Sie anhand des folgenden Systems mit vier Objekten unterschiedlicher Masse den Schwerpunkt des Systems.

In diesem Fall sind die vier geometrischen Figuren des Systems symmetrisch, daher ist es notwendig, die Koordinaten des Mittelpunkts jeder Figur zu verwenden, um den Schwerpunkt zu berechnen.

Zuerst berechnen wir die X-Koordinate des Schwerpunkts:

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

Und dann finden wir die Y-Koordinate des Schwerpunkts mit der entsprechenden Formel:

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

Zusammenfassend ist der Schwerpunkt des gesamten Systems:

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

Schwerpunkt und Massenschwerpunkt

Der Unterschied zwischen Schwerpunkt und Massenschwerpunkt besteht darin, dass der Schwerpunkt der Angriffspunkt der Schwerkraft ist, während der Massenschwerpunkt der Angriffspunkt aller äußeren Kräfte ist.

Das heißt, der Schwerpunkt ist der Punkt, an dem man davon ausgeht, dass die Kraft wirkt, die aus der Verdrängung aller Schwerkraftkräfte in einem System resultiert, während der Schwerpunkt der Punkt ist, an dem die resultierende Kraft wirken soll. alle Kräfte außerhalb des Systems.

Wenn das Gravitationsfeld jedoch gleichmäßig ist, fällt der Schwerpunkt mit dem Massenschwerpunkt zusammen. Da die Schwerkraft auf der Erde nahezu gleichmäßig ist, werden der Massenschwerpunkt und der Schwerpunkt aus praktischen Gründen als derselbe Punkt betrachtet.

Schwerpunkt und geometrisches Zentrum

Der geometrische Mittelpunkt ist der Punkt in der Mitte einer geometrischen Figur. Beispielsweise ist der geometrische Mittelpunkt eines Rechtecks der Schnittpunkt seiner Symmetrieachsen.

Der geometrische Mittelpunkt eines Körpers oder Systems fällt mit dem Massenschwerpunkt und damit mit dem Schwerpunkt zusammen, wenn der Körper eine gleichmäßige Dichte aufweist oder wenn die Massenverteilung des Systems symmetrisch ist.

Dem gleichen Beispiel folgend ist der geometrische Mittelpunkt eines Rechtecks sein Schwerpunkt und sein Massenmittelpunkt.

Schwerpunkteigenschaften

Der Schwerpunkt eines Körpers hat folgende Eigenschaften:

Wenn das Gravitationsfeld gleichmäßig ist, entspricht der Schwerpunkt dem Massenschwerpunkt.

Wenn daher die vorherige Eigenschaft erfüllt ist, kann die Schwerpunktsformel verwendet werden, um den Schwerpunkt eines Körpers zu bestimmen, der aus dem folgenden Integral besteht:

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

Alle auf die Teilchen eines Systems wirkenden Gravitationskräfte können durch eine einzige resultierende Kraft mit dem Wert M·g (dem Gewicht des gesamten Systems) und einem Angriffspunkt im Schwerpunkt ersetzt werden.

Jeder Gegenstand, der auf einer horizontalen Unterlage ruht, befindet sich im Gleichgewicht, wenn die gedachte vertikale Linie, die durch seinen Schwerpunkt verläuft, die Unterlage schneidet.