In diesem Artikel wird erklärt, was Gleichgewichtsbedingungen sind. Sie finden reale Beispiele für beide Gleichgewichtszustände und können darüber hinaus mit Schritt für Schritt gelösten Übungen trainieren.
Was sind die Gleichgewichtsbedingungen?
In der Physik besagen die Gleichgewichtsbedingungen , dass ein Körper im Gleichgewicht ist, wenn die Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte und die Summe der auf ihn einwirkenden Momente gleich Null sind.
Es gibt also zwei Bedingungen für das Gleichgewicht: Die erste Bedingung besagt, dass die resultierende Kraft Null sein muss, und die zweite Bedingung besagt, dass das resultierende Moment Null sein muss.
Beachten Sie, dass beide Gleichungen erfüllt sein müssen, damit ein System als im Gleichgewicht betrachtet wird. Es reicht nicht aus, wenn nur eine Bedingung erfüllt ist.
Erste Bedingung des Gleichgewichts
Die erste Gleichgewichtsbedingung besagt, dass die Summe der auf einen Körper ausgeübten Kräfte gleich Null sein muss, damit sich dieser Körper im translatorischen Gleichgewicht befindet.
Logischerweise muss die Summe der Kräfte für alle drei Achsen Null sein. Wenn sie in keiner Achse erfüllt ist, ist der Körper nicht im Gleichgewicht.
Wenn außerdem die Summe der Kräfte Null ist, bedeutet dies, dass der Körper keine lineare Beschleunigung hat. Somit kann ein Körper im Translationsgleichgewicht ruhen (Geschwindigkeit Null) oder sich mit konstanter linearer Geschwindigkeit bewegen.
Daraus lassen sich zwei Arten von Translationsgleichgewichten unterscheiden:
- Statisches Translationsgleichgewicht : wenn die erste Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist und sich der Körper ebenfalls in Ruhe befindet.
- Dynamisches Translationsgleichgewicht : Wenn die erste Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist und der Körper eine konstante Geschwindigkeit hat (ungleich Null).
Zweite Gleichgewichtsbedingung
Die zweite Gleichgewichtsbedingung ist analog zur ersten Gleichgewichtsbedingung, verwendet jedoch Momente anstelle von Kräften.
Die zweite Gleichgewichtsbedingung besagt, dass sich der Körper im Rotationsgleichgewicht befindet, wenn die Summe der Momente eines Körpers Null ist.
Ebenso muss die Summe der Momente in allen Achsen des Rahmens Null sein, sonst ist die zweite Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt.
Denken Sie daran, dass das Moment (oder Drehmoment) einer Kraft an einem Punkt berechnet wird, indem der Wert der Kraft mit dem senkrechten Abstand von der Kraft zum Punkt multipliziert wird.
Ebenso muss die Winkelbeschleunigung des Körpers Null sein, damit die zweite Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist, was bedeutet, dass sich der Körper in diesem Zustand nicht oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht.
Beispiele für Gleichgewichtsbedingungen
Nachdem Sie die Definitionen der beiden Gleichgewichtsbedingungen gesehen haben, können Sie sich unten einige Beispiele aus dem täglichen Leben ansehen, um das Konzept vollständig zu verstehen.
Wenn ein Körper beispielsweise an der Decke hängt, befindet sich der Körper im Gleichgewicht, da das System vollständig ruht. Wir können auch sagen, dass sich das System im statischen Gleichgewicht befindet.
Ein weiteres Beispiel für Gleichgewichtszustände im Alltag ist die Waage. Wenn sich der Waagearm stabilisiert und aufhört zu rotieren, befindet sich das System in Ruhe und somit auch im Gleichgewicht.
Probleme mit Gleichgewichtsbedingungen gelöst
Übung 1
Berechnen Sie anhand eines starren Körpers mit einer Masse von 12 kg, der an zwei Seilen aufgehängt ist, deren Winkel in der folgenden Abbildung dargestellt sind, die Kraft, die jedes Seil ausüben muss, um den Körper im Gleichgewicht zu halten.
Um diese Art von Problem zu lösen, müssen wir zunächst das Freikörperdiagramm der Figur zeichnen:
Beachten Sie, dass tatsächlich nur drei Kräfte auf den schwebenden Körper wirken, die Kraft des Gewichts P und die Spannungen der Saiten T 1 und T 2 . Die dargestellten Kräfte T 1x , T 1y , T 2x und T 2y sind die Vektorkomponenten von T 1 bzw. T 2 .
Da wir also die Neigungswinkel der Saiten kennen, können wir die Ausdrücke für die Vektorkomponenten der Zugkräfte finden:
Andererseits können wir die Gewichtskraft berechnen, indem wir die Formel für die Gravitationskraft anwenden:
Die Problemstellung besagt, dass sich der Körper im Gleichgewicht befindet, sodass die Summe der vertikalen Kräfte und die Summe der horizontalen Kräfte gleich Null sein müssen. Wir können also die Kraftgleichungen aufstellen und sie gleich Null setzen:
Wir ersetzen nun die Komponenten der Einschränkungen durch ihre zuvor gefundenen Ausdrücke:
Und schließlich lösen wir das Gleichungssystem, um den Wert der Kräfte T 1 und T 2 zu erhalten:
![\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117 .72=0\end{array }\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}[/ latex]
<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div>
<h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3>
<p> Calculer le moment que doit faire le support de la poutre suivante pour qu’elle soit en équilibre de rotation : </p>
<div class="wp-block-image">
<figure class="aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png" alt="Exercice résolu de la deuxième condition d'équilibre" class="wp-image-397" width="237" height="203" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre-300x257.png 300w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png 643w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px"></figure>
</div>
<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center">
<div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div>
</div>
<p> Pour que la poutre soit en équilibre de rotation et que la deuxième condition d’équilibre soit donc remplie, le support doit contrecarrer le moment de torsion généré par la force, donc la somme des moments sera nulle. On calcule donc le moment (ou couple) généré par la force au niveau de l’appui : [latex]M_{force}=13\cdot 9 = 117 \ Nm“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“343″ width=“3353″ style=“vertical-align: 0px;“></p>
</p>
<p class=](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694655a52049a536489cebbaef3bc7a2_l3.png)
Und jetzt formulieren wir die Momentengleichungsgleichung:
Der Moment, der die Kraft erzeugt, verläuft innerhalb des Schirms, daher ist sein Vorzeichen negativ:
Und schließlich lösen wir die Unbekannte in der Gleichung:
Der erhaltene Moment hat ein positives Vorzeichen, seine Bedeutung liegt daher außerhalb des Bildschirms.
Übung 3
Wie in der folgenden Abbildung dargestellt, sind zwei Objekte durch ein Seil und eine Rolle mit vernachlässigbarer Masse verbunden. Wenn Objekt 2 eine Masse von 7 kg hat und die Rampe eine Neigung von 50° hat, berechnen Sie die Masse von Objekt 1 so, dass sich das gesamte System im Gleichgewicht befindet. In diesem Fall kann die Reibungskraft vernachlässigt werden.
Da sich Körper 1 auf einem geneigten Hang befindet, müssen Sie zunächst die Kraft seines Gewichts vektorisieren, um die Kräfte auf den Achsen des Hangs zu erhalten:
Die auf das Gesamtsystem wirkenden Kräfte sind also:
Die Problemstellung sagt uns, dass das Kräftesystem im Gleichgewicht ist, also müssen sich die beiden Körper im Gleichgewicht befinden. Aus diesen Informationen können wir die Gleichgewichtsgleichungen der beiden Körper formulieren:
![1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2](https://physigeek.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed082b4f064316ab20fb0d26054d3010_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nun wenden wir die Gravitationskraftformel an und vereinfachen die Gleichung:
Schließlich ersetzen wir die Daten und ermitteln die Masse von Körper 1:
Übung 4
Wie Sie in der folgenden Abbildung sehen können, trägt eine 10 m lange Reckstange einen Körper mit einer Masse von 8 kg. Welchen Wert haben die von den Stützen ausgeübten Kräfte, wenn das System im Gleichgewicht von Rotation und Translation ist, wenn man die Abstände zwischen den Stützen und dem aufgehängten Körper kennt?
Zunächst verwenden wir die Gravitationskraftformel, um das Gewicht zu berechnen, das der horizontale Balken tragen muss:
Das Freikörperdiagramm des Systems lautet daher:
Die Problemstellung sagt uns, dass sich das System im Gleichgewicht der Kräfte befindet, sodass die Summe aller dieser Kräfte Null sein muss. Unter Verwendung dieser Gleichgewichtsbedingung können wir die folgende Gleichung formulieren:
Andererseits sagt uns die Aussage auch, dass sich das System im Impulsgleichgewicht befindet. Wenn wir also die Summe der Momente an einem beliebigen Punkt im System betrachten, muss das Ergebnis Null sein, und wenn wir den Referenzpunkt eines der beiden Träger nehmen, erhalten wir eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten:
Wir können nun die von der Stütze B ausgeübte Kraft berechnen, indem wir die Unbekannte in der Gleichung lösen:
Und schließlich können wir die Intensität der auf die andere Stütze ausgeübten Kraft ermitteln, indem wir den erhaltenen Wert in die Gleichung der vertikalen Kräfte einsetzen:
