مركز الثقل: التعريف، الصيغة، الأمثلة، الخصائص، ...

يشرح هذا المقال ما هو مركز الثقل، وكيف يتم حساب إحداثياته، وما هي خصائصه. بالإضافة إلى ذلك، سوف تتعلم أوجه التشابه والاختلاف بين مركز الجاذبية ومركز الكتلة والمركز الهندسي.

ما هو مركز الثقل؟

مركز ثقل الجسم أو النظام هو النقطة التي تؤثر فيها قوة الجاذبية الكاملة المؤثرة على كتلة الجسم أو النظام المذكور.

بمعنى آخر، مركز ثقل الجسم هو نقطة تطبيق قوة الجاذبية التي تمارسها الأرض على الجسم المذكور.

على سبيل المثال، مركز ثقل الكرة هو مركز الكرة. وهذا مثال بسيط لمركز الثقل، حيث أن كتلة الكرة موزعة بالتساوي في جميع أنحاء الجسم، ولكن في بعض الأحيان يجب إجراء عملية حسابية لتحديد مركز ثقل الجسم، كما سنرى أدناه.

في الفيزياء، غالبًا ما يتم اختصار مركز الجاذبية بـ cdg أو CDG. وبالمثل، يُسمى مركز الثقل أيضًا مركز التوازن أو مركز التوازن.

كما يمكنك أن تتخيل، فإن معرفة مكان مركز ثقل النظام مهم جدًا في الهندسة، على سبيل المثال، فهو يسمح لك بدراسة توازن واستقرار الهيكل بشكل صحيح.

كيفية حساب مركز الثقل

لحساب إحداثيات مركز ثقل النظام ، يجب عليك إيجاد مجموع منتجات كل كتلة في النظام من خلال بعدها عن نقطة مرجعية، ثم قسمة النتيجة على مجموع كل الكتل.

تحتاج إلى استخدام هذه الصيغة مرتين، مرة للعثور على الإحداثي X لمركز الجاذبية والأخرى للعثور على الإحداثي Y. وبالتالي فإن الصيغ لحساب مركز الثقل هي:

$CDG_x=\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}$

$CDG_y=\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}$

منطقيًا، إذا كنت تعمل في ثلاثة أبعاد، فيجب عليك تطبيق نفس الصيغة مرة أخرى بشكل مماثل للإحداثيات z.

مثال لحساب مركز الثقل

بالنظر إلى تعريف وصيغة مركز الثقل، يوجد أدناه تمرين خطوة بخطوة لمعرفة كيفية حساب مركز ثقل النظام.

بالنظر إلى النظام التالي الذي يحتوي على أربعة أجسام ذات كتل مختلفة، احسب مركز ثقل النظام.

في هذه الحالة تكون الأشكال الهندسية الأربعة للنظام متناظرة، لذلك من الضروري أخذ إحداثيات مركز كل شكل لحساب مركز الثقل.

أولاً، نحسب الإحداثي X لمركز الثقل:

$\begin{aligned} CDG_x& =\cfrac{\sum m_i\cdot x_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_x&=\cfrac{2\cdot 5+4\cdot 4+5\cdot 6+ 9\cdot 11}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_x&= 7.75\end{aligned}$

ثم نجد الإحداثي Y لمركز الثقل بالصيغة المقابلة له:

$\begin{aligned} CDG_y& =\cfrac{\sum m_i\cdot y_i}{\sum m_i}\\[2ex] CDG_y&=\cfrac{2\cdot 8+4\cdot 5+5\cdot 2+ 9\cdot 6}{2+4+5+9}\\[2ex] CDG_y&= 5\end{aligned}$

في الختام، مركز ثقل النظام بأكمله هو:

$CDG=(7,75\ , \ 5)$

مركز الثقل ومركز الكتلة

الفرق بين مركز الثقل ومركز الكتلة هو أن مركز الثقل هو نقطة تطبيق قوة الجاذبية، بينما مركز الكتلة هو نقطة تطبيق جميع القوى الخارجية.

أي أن مركز الجاذبية هو النقطة التي تعتبر فيها القوة الناتجة عن استبدال جميع قوى الجاذبية في النظام مؤثرة، في حين أن مركز الكتلة هو النقطة التي تعتبر القوة الناتجة مؤثرة فيها. كل القوى الخارجية عن النظام.

ومع ذلك، عندما يكون مجال الجاذبية منتظمًا، فإن مركز الجاذبية يتزامن مع مركز الكتلة. ولذلك، بما أن الجاذبية على الأرض تكاد تكون موحدة، فمن الناحية العملية، يعتبر مركز الكتلة ومركز الثقل نفس النقطة.

مركز الثقل والمركز الهندسي

المركز الهندسي هو النقطة التي تقع في منتصف الشكل الهندسي. على سبيل المثال، المركز الهندسي للمستطيل هو نقطة تقاطع محاور تماثله.

يتطابق المركز الهندسي لجسم أو نظام مع مركز الكتلة، وبالتالي مع مركز الثقل، عندما يكون للجسم كثافة موحدة أو عندما يكون توزيع كتل النظام متماثلًا.

وبنفس المثال، فإن المركز الهندسي للمستطيل هو مركز ثقله ومركز كتلته.

خصائص مركز الجاذبية

يتمتع مركز ثقل الجسم بالخصائص التالية:

إذا كان مجال الجاذبية منتظمًا، فإن مركز الجاذبية يعادل مركز الكتلة.

ولذلك، عند توفر الخاصية السابقة، يمكن استخدام صيغة مركز الكتلة لتحديد مركز ثقل الجسم، والذي يتكون من التكامل التالي:

$\displaystyle CDG=\frac{1}{M}\int_V r\rho (r)dV$

يمكن استبدال جميع قوى الجاذبية المؤثرة على جسيمات النظام بقوة واحدة ناتجة قيمتها M·g (وزن النظام بأكمله) وبنقطة تطبيق عند مركز الجاذبية.

أي جسم يرتكز على قاعدة أفقية يكون في حالة توازن إذا كان الخط الرأسي الوهمي الذي يمر عبر مركز ثقله يتقاطع مع القاعدة.