▷ شروط التوازن

تشرح هذه المقالة ما هي شروط التوازن. ستجد أمثلة حقيقية لحالتي التوازن، وبالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من التدرب مع التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

ما هي شروط التوازن؟

في الفيزياء، تنص شروط التوازن على أن الجسم يكون في حالة توازن إذا كان مجموع القوى ومجموع العزوم المطبقة عليه يساوي الصفر.

إذن هناك شرطان لتحقيق التوازن: الشرط الأول يقول أن القوة المحصلة يجب أن تكون صفرًا، والشرط الثاني يقول أن العزم المحصلة يجب أن يكون صفرًا.

ضع في اعتبارك أنه لكي يعتبر النظام في حالة توازن، يجب أن تتحقق كلتا المعادلتين، فلا يكفي استيفاء شرط واحد فقط.

الشرط الأول للتوازن

ينص شرط التوازن الأول على أن مجموع القوى المطبقة على الجسم يجب أن يساوي الصفر حتى يكون الجسم المذكور في حالة توازن انتقالي.

منطقياً مجموع القوى يجب أن يكون صفراً للمحاور الثلاثة، فإذا لم يتحقق في أي محور فإن الجسم ليس في حالة توازن.

$\displaystyle \sum\vv{F_x}=0\qquad\sum\vv{F_y}=0\qquad\sum\vv{F_z}=0$

علاوة على ذلك، إذا كان مجموع القوى صفرًا، فهذا يعني أن الجسم ليس له تسارع خطي. وبالتالي، يمكن لجسم في حالة توازن انتقالي أن يكون في حالة سكون (سرعة صفر) أو يتحرك بسرعة خطية ثابتة.

ومن هنا يمكن التمييز بين نوعين من التوازنات الانتقالية:

التوازن الانتقالي الساكن : عندما يتحقق شرط التوازن الأول ويكون الجسم في حالة راحة أيضًا.
التوازن الانتقالي الديناميكي : عندما يتحقق شرط التوازن الأول ويكون للجسم سرعة ثابتة (تختلف عن الصفر).

شرط التوازن الثاني

حالة التوازن الثانية مشابهة لحالة التوازن الأولى ولكنها تستخدم العزوم بدلاً من القوى.

شرط التوازن الثاني يقول أنه إذا كان مجموع عزوم الجسم صفراً، فإن الجسم يكون في حالة توازن دوراني.

وبالمثل، يجب أن يكون مجموع العزوم صفراً في جميع محاور الإطار، وإلا فلن يتحقق شرط التوازن الثاني.

$\displaystyle \sum\vv{M_x}=0\qquad\sum\vv{M_y}=0\qquad\sum\vv{M_z}=0$

تذكر أن عزم (أو عزم الدوران) القوة عند نقطة ما يتم حسابه بضرب قيمة القوة في المسافة العمودية من القوة إلى النقطة.

$M=F\cdot d$

وبالمثل، لكي يتحقق شرط التوازن الثاني، يجب أن يكون التسارع الزاوي للجسم صفرًا، مما يعني أنه في هذه الحالة لا يدور الجسم أو يدور بسرعة زاوية ثابتة.

أمثلة على شروط التوازن

بعد الاطلاع على تعريفات شرطي التوازن، ستتمكن من رؤية عدة أمثلة من الحياة اليومية أدناه لفهم المفهوم بشكل كامل.

على سبيل المثال، عندما يتم تعليق جسم من السقف، يكون الجسم في حالة توازن لأن النظام يكون في حالة سكون تام. يمكننا أيضًا أن نقول أن النظام في حالة توازن ثابت.

مثال آخر على ظروف التوازن في الحياة اليومية هو الميزان. عندما يستقر ذراع التوازن ويتوقف عن الدوران، يكون النظام في حالة راحة وبالتالي في حالة توازن أيضًا.

حل مسائل شروط التوازن

التمرين 1

إذا كان جسم صلب كتلته ١٢ كجم معلقًا بحبلين زاويتيهما الموضحتين في الشكل التالي، فاحسب القوة التي يجب أن يؤثر بها كل حبل لإبقاء الجسم في حالة اتزان.

انظر الحل

أول شيء يتعين علينا القيام به لحل هذا النوع من المسائل هو رسم مخطط الجسم الحر للشكل:

لاحظ أنه في الواقع هناك ثلاث قوى فقط تؤثر على الجسم المعلق، قوة الوزن P وشد الأوتار T ₁ و T ₂ . القوى الممثلة T _1x و T _1y و T _2x و T _2y هي المكونات المتجهة لـ T ₁ و T ₂ على التوالي.

وهكذا، وبما أننا نعرف زوايا ميل الأوتار، فيمكننا إيجاد تعبيرات عن المكونات المتجهة لقوى الشد:

$T_{1x}=T_1\cdot \text{cos}(20º)$

$T_{1y}=T_1\cdot \text{sin}(20º)$

$T_{2x}=T_2\cdot \text{cos}(55º)$

$T_{2y}=T_2\cdot \text{sin}(55º)$

ومن ناحية أخرى، يمكننا حساب قوة الوزن من خلال تطبيق صيغة قوة الجاذبية:

$P=m\cdot g=12\cdot 9,81 =117,72 \N$

يخبرنا بيان المسألة أن الجسم في حالة اتزان، لذا فإن مجموع القوى الرأسية ومجموع القوى الأفقية لا بد أن يساوي صفرًا. لذا يمكننا إنشاء معادلات القوة ومساواتها بالصفر:

$-T_{1x}+T_{2x}=0$

$T_{1y}+T_{2y}-P=0$

نستبدل الآن مكونات القيود بعباراتها التي وجدناها سابقًا:

$-T_1\cdot\text{cos}(20º)+T_2\cdot \text{cos}(55º)=0$

$T_1\cdot \text{sin}(20º)+T_2\cdot \text{sin}(55º)-117.72=0$

وأخيرًا، نحل نظام المعادلات للحصول على قيمة القوى T ₁ و T ₂ :

$\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117 .72=0\end{array }\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3> <p> Calculer le moment que doit faire le support de la poutre suivante pour qu’elle soit en équilibre de rotation : </p> <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png" alt="Exercice résolu de la deuxième condition d'équilibre" class="wp-image-397" width="237" height="203" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre-300x257.png 300w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-deuxieme-condition-dequilibre.png 643w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px"></figure> </div> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Pour que la poutre soit en équilibre de rotation et que la deuxième condition d’équilibre soit donc remplie, le support doit contrecarrer le moment de torsion généré par la force, donc la somme des moments sera nulle. On calcule donc le moment (ou couple) généré par la force au niveau de l’appui : [latex]M_{force}=13\cdot 9 = 117 \ Nm” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”343″ width=”3353″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$ والآن نذكر معادلة التوازن اللحظي:

$M_{support}+M_{force}=0$

تمر اللحظة التي تولد القوة داخل الشاشة فتكون إشارتها سالبة:

$M_{support}-117=0$

وأخيرًا نحل المجهول في المعادلة:

$M_{support}=117\Nm$

اللحظة التي تم الحصول عليها لها إشارة إيجابية، وبالتالي فإن معناها خارج الشاشة.

التمرين 3

كما هو موضح في الشكل التالي، هناك جسمان متصلان بواسطة حبل وبكرة كتلتهما ضئيلة. إذا كانت كتلة الجسم 2 7 كجم وكان ميل المنحدر 50 درجة، فاحسب كتلة الجسم 1 بحيث يكون النظام بأكمله في حالة توازن. وفي هذه الحالة يمكن إهمال قوة الاحتكاك.

انظر الحل

يقع الجسم 1 على منحدر مائل، لذا فإن أول ما يجب فعله هو توجيه قوة وزنه للحصول على القوى المؤثرة على محاور المنحدر:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

وبالتالي فإن مجموعة القوى المؤثرة على النظام بأكمله هي:

يخبرنا بيان المشكلة أن نظام القوى في حالة توازن، لذا يجب أن يكون الجسمان في حالة توازن. ومن هذه المعلومات يمكننا صياغة معادلات توازن الجسمين:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Ainsi, la composante du poids de l'objet 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2 : [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sen}(\alpha)=P_2$

الآن نطبق صيغة قوة الجاذبية ونبسط المعادلة:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

أخيرًا، نعوض البيانات ونحل كتلة الجسم 1:

$m_1 \cdot \text{sin}(50º) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50º)}$

$m_1=9,14\kg$

التمرين 4

كما ترون في الشكل التالي، قضيب أفقي طوله 10 أمتار يدعم جسمًا كتلته 8 كجم. بمعرفة المسافات بين الدعامات والجسم المعلق، ما قيمة القوى المؤثرة على الدعامات إذا كان النظام في حالة توازن الدوران والانتقال؟

انظر الحل

أولًا، نستخدم معادلة قوة الجاذبية لحساب الوزن الذي يجب أن يتحمله الشريط الأفقي:

$P=m\cdot g=8\cdot 9,81 =78,48 \ N$

وبالتالي فإن مخطط الجسم الحر للنظام هو:

يخبرنا بيان المشكلة أن النظام في حالة توازن قوى، لذا يجب أن يكون مجموع كل هذه القوى صفرًا. وباستخدام شرط التوازن هذا يمكننا صياغة المعادلة التالية:

$F_A+F_B-P=0$

ومن ناحية أخرى، تخبرنا العبارة أيضًا أن النظام في حالة توازن في الزخم. فإذا أخذنا في الاعتبار مجموع العزوم عند أي نقطة في النظام فإن النتيجة يجب أن تكون صفراً، وإذا أخذنا النقطة المرجعية لأحد الدعامتين ستكون لدينا معادلة بمجهول واحد:

$M(A)=0$