▷ الموجات الدائمة

يشرح هذا المقال ما هي الموجات الدائمة في الفيزياء. لذا ستجد معادلة الموجات المستقرة، وما هي خصائص الموجات المستقرة، علاوة على ذلك، ما هي الأنواع المختلفة للموجات الموقوفة.

ما هي الموجة الدائمة؟

الموجة الدائمة هي اضطراب تذبذبي تتأرجح قمته عموديًا ولكنها لا تتقدم طوليًا. الموجات المستقرة هي نتيجة التداخل بين موجتين أو أكثر، والتي تتكون من تراكب موجات لها نفس الخصائص ولكنها تتحرك في اتجاهين متعاكسين.

في معظم الحالات، تنتج الموجات الدائمة عن ظاهرة الرنين الفيزيائية، حيث يحدث تداخل موجة إلى موجة بين الموجة وموجتها المنعكسة في وسط مرنان.

على سبيل المثال، عندما نربط حبلًا مرنًا بجدار من أحد طرفيه ونهتز الحبل، يتم إنتاج موجة ثابتة. يتأرجح الوتر وتنعكس الاهتزازات عند الطرف الثابت للوتر، ومن هنا تتراكب الموجتان وتتشكل موجة واقفة.

الرسم البياني أعلاه يصور موجة دائمة (الموجة الحمراء) جنبا إلى جنب مع الموجات التي تتداخل لتشكل الموجة الدائمة (الموجات الخضراء والزرقاء). كما ترون، تتحرك الموجة الخضراء إلى اليمين، وتتحرك الموجة الزرقاء إلى اليسار، وعلى العكس من ذلك، فإن الموجة الدائمة لا تتحرك أفقيًا ولكنها تهتز عموديًا فقط.

تم وصف الموجات المستقرة لأول مرة في عام 1831 من قبل الفيزيائي الإنجليزي مايكل فاراداي. ومع ذلك، فإن اسم “الموجة الدائمة” تمت صياغته في عام 1860 من قبل الفيزيائي الألماني فرانز ميلدي.

معادلة الموجة الدائمة

معادلة الحالة الثابتة هي ضعف سعة الموجات الأصلية مضروبًا في حاصل ضرب جيب عدد الموجة مضروبًا في الاستطالة وجيب تمام التردد الزاوي مضروبًا في الزمن. لذا فإن معادلة الموجة الدائمة هي y=2·A·sin(k·x)·cos(ω·t) .

$y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)$

ذهب:

$y$

هو استطالة النقطة المدروسة للموجة الدائمة.
$A$

هي سعة الموجات الأصلية.
$k$

هو الرقم الموجي.
$x$

هو موضع النقطة المدروسة للموجة الدائمة.
$\omega$

هو التردد الزاوي أو النبضي.
$t$

هي لحظة من الزمن.

ملحوظة: هناك عدة طرق للتعبير عن معادلة الموجة الموقوفة، لذا اعتمادًا على الكتاب قد تجد معادلة مختلفة قليلاً. ومع ذلك، في الفيزياء، فإن معادلة الموجة الدائمة الأكثر استخدامًا هي تلك المقدمة في هذه المقالة.

لاحظ أنه يتم حساب الرقم الموجي والتردد الزاوي للموجة الدائمة باستخدام الصيغ التالية:

$\begin{array}{c}k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\\[4ex]\omega=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi f\end{ tableau}$

ذهب:

$k$

هو الرقم الموجي.
$\lambda$

هو الطول الموجي، أي المسافة بين نقطتين متكافئتين من الموجة الدائمة.
$\omega$

هو التردد الزاوي أو النبضي.
$T$

هي الفترة التي يتم تعريفها على أنها الوقت بين مرور الموجة عبر نقطة ما ووقت مرورها عبر نقطة مكافئة مرة أخرى.
$f$

هو التردد، وهو عدد تذبذبات الموجة لكل وحدة زمنية.

انظر توضيح معادلة الموجة الدائمة

بالنظر إلى موجتي انتشار محددتين بالمعادلات التالية:

$\begin{array}{c}y_1=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)\\[3ex]y_2=A\cdot \text{sin}(k \cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

الموجة الدائمة هي مجموع الموجتين المتذبذبتين، وبالتالي فإن معادلة الموجة الدائمة ستكون مجموع المعادلتين السابقتين:

$\begin{array}{c}y=y_1+y_2\\[3ex]y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{ sin}(k\cdot x+\omega\cdot t)\end{array}$

سنقوم بعد ذلك بتطبيق الصيغ المثلثية التالية:

$\displaystyle\text{sin}(A)+\text{sin}(B)=2\cdot \text{sin}\left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot\ texte{cos}\left(\frac{AB}{2}\right)$

$\text{cos}(-A)=\text{cos}(A)$

وهكذا، وبتطبيق الصيغ المثلثية السابقة نصل إلى معادلة الموجات المستقرة:

$\begin{array}{c}\displaystyle y=A\cdot \text{sin}(k\cdot x-\omega\cdot t)+A\cdot \text{sin}(k\cdot x+\ omega\cdot t)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)+(k\cdot x + \omega\cdot t)}{2}\right)\cdot \text{cos}\left(\frac{(k\cdot x-\omega\cdot t)-(k\cdot x+\omega\cdot t) }{2}\right)\\[4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(-\omega\cdot t)\\ [4ex]\displaystyle y=2\cdot A\cdot \text{sin}(k\cdot x)\cdot \text{cos}(\omega\cdot t)\end{array}$

العقد والمضادات للموجة الدائمة

تتكون أي موجة واقفة من العقد والعقد المضادة، كما يلي:

العقد : هي نقاط الموجة الموقوفة التي يكون استطالتها عند الحد الأدنى (y=0). هذه النقاط ثابتة تمامًا، لأنها لا تتحرك أفقيًا ولا رأسيًا.
البطون (أو البطون) : هذه هي نقاط الموجة المستقرة التي يكون استطالتها القصوى (y = 2A أو y = -2A). تتأرجح هذه النقاط عموديًا من الاستطالة y=2A إلى y=-2A.

موجات واقفة مع تثبيت كلا الطرفين

عندما يتم إنشاء موجات واقفة مع تثبيت كلا الطرفين، فهذا يعني أن طرفي الموجة عبارة عن عقد. ويتم تنفيذ هذا النوع من الموجات الموقوفة في أنابيب مغلقة من الجانبين أو عن طريق حبال مهتزة متصلة بأطرافها.

على سبيل المثال، عندما نهتز أوتار الجيتار، فإننا نولد موجات ثابتة طرفيها ثابتان.

في هذه الحالة، يتم تحديد الطول الموجي وتردد الموجة الدائمة من خلال الصيغ التالية:

$\begin{array}{c}\lambda_n=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_n=\cfrac{v}{\lambda_n}=\cfrac{n\cdot v} {2\cdot L}\end{array}$

ذهب:

$\lambda$

هو الطول الموجي.
$L$

هو طول السلسلة.
$n$

هو الرقم التوافقي (ن=1، 2، 3، 4…).
$f$

هو التردد الطبيعي أو التوافقي.
$v$

هي سرعة انتشار الموجة.

توافقيات الموجات الموقوفة ذات طرفين ثابتين.png

كما ترون في الصورة أعلاه، فإن عدد البطانات وعدد العقد يعتمد على العدد التوافقي. عدد العقد العكسية لموجة واقفة وطرفيها ثابتان يعادل العدد التوافقي، في حين أن عدد العقد هو العدد التوافقي زائد واحد.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n+1$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

موجات واقفة وطرفيها حران

أخيرًا، يمكن أيضًا أن يكون للموجات الدائمة طرفان حران ، بحيث يكون كلا طرفي الموجة الدائمة بمثابة عقدتين عكسيتين.

يتم توليد هذا النوع من الموجات المستقرة في العديد من آلات النفخ لأن طرفيها مفتوحان.

يتم حساب الطول الموجي وتردد الموجة المستقرة مع فتح كلا الطرفين باستخدام الصيغ التالية:

$\begin{array}{c}\lambda_{n}=\cfrac{2\cdot L}{n}\\[4ex]f_{n}=\cfrac{v}{\lambda_{n}} =\cfrac{n\cdot v}{2\cdot L}\end{array}$

ذهب:

$\lambda$

هو الطول الموجي.
$L$

هو طول السلسلة.
$n$

هو الرقم التوافقي (ن=1، 2، 3، 4…).
$f$

هو التردد الطبيعي أو التوافقي.
$v$

هي سرعة انتشار الموجة.

إذا نظرت إلى الصورة أعلاه، فإن هذه الأنواع من الموجات الدائمة تحتوي على عدد من العقد مثل العدد التوافقي. في المقابل، فإن عدد البطانات لهذه الفئة من الموجات الموقوفة هو العدد التوافقي زائد واحد.

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n+1$

موجات واقفة ذات نهاية ثابتة ونهاية حرة

عندما تنتشر الموجة في وسط يكون فيه أحد طرفيه ثابتًا والطرف الآخر حرًا ، فهذا يعني أن أحد طرفي الموجة سيكون عقدة والطرف الآخر للموجة سيكون عقدة عكسية.

تحدث هذه الأنواع من الموجات الموقوفة في العديد من الآلات الموسيقية، فمثلاً، الموجات المتولدة في البوق أو الناي أو الكلارينيت لها نهاية ثابتة، ينفخ من خلالها العازف، ونهاية أخرى حرة، ينفخ من خلالها العازف. الآلة.

في هذه الحالة، يمكن حساب طول وتردد الموجة الدائمة من خلال الصيغ التالية:

$\begin{array}{c}\lambda_{2n-1}=\cfrac{4\cdot L}{2n-1}\\[4ex]f_{2n-1}=\cfrac{v}{ \lambda_{2n-1}}=\cfrac{v}{4\cdot L}\cdot (2n-1)\end{array}$

ذهب:

$\lambda$

هو الطول الموجي.
$L$

هو طول السلسلة.
$n$

هي المعلمة التي تحدد الرقم التوافقي (ن=1، 2، 3، 4…).
$f$

هو التردد الطبيعي أو التوافقي.
$v$

هي سرعة انتشار الموجة.

ملاحظة: ضع في اعتبارك أنه في هذه الحالة توجد فقط التوافقيات الفردية (1، 3، 5، 7…)، لأنه في هذا النوع من الموجات المستقرة من الممكن فقط توليد مضاعفات فردية للتردد الأساسي.

في هذه الحالة، تحتوي الموجة الدائمة على نفس عدد العقد الموجودة في العقد المضادة. بشكل ملموس، تحتوي الموجة الدائمة على عدد من العقد وعدد من العقد المضادة مثل قيمة المعلمة n للتوافقي:

$\text{N\'nombre de nœuds}=n$

$\text{N\'nombre de ventres}=n$

ما هي الموجة الدائمة؟

معادلة الموجة الدائمة

العقد والمضادات للموجة الدائمة

موجات واقفة مع تثبيت كلا الطرفين

موجات واقفة وطرفيها حران

موجات واقفة ذات نهاية ثابتة ونهاية حرة

اترك تعليقا إلغاء الرد