▷ المستوى المائل (الفيزياء): حل الصيغ والتمارين

تشرح هذه المقالة ما هي المستويات المائلة في الفيزياء وكيف يتم حل المسائل من هذا النوع. ستجد صيغ القوى التي تؤثر على المستوى المائل، بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من التدرب من خلال التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة على المستوى المائل.

ما هو المستوى المائل؟

المستوى المائل هو سطح مائل بزاوية معينة. في الفيزياء، يتم استخدام المستوى المائل لممارسة مسائل القوة.

على سبيل المثال، يعتبر الطريق المنحدر أو الطريق المنحدر بمثابة مستويات مائلة.

يسمح لك المستوى المائل بنقل جسم ما باستخدام قوة أقل. نظرًا لأن دفع الجسم على مستوى مائل يتطلب قوة أقل من رفعه رأسيًا.

كما يعتبر المستوى المائل أحد الآلات البسيطة الكلاسيكية الست.

صيغ الطائرة المائلة

الآن بعد أن عرفنا تعريف المستوى المائل، دعونا نرى ما هي الصيغ التي تعمل على المستوى المائل وما هي المعادلات التي تربط بينهما.

المشكلة الأولى التي نواجهها في تمارين المستوى المائل هي أن معظم القوى تؤثر في اتجاه موازٍ أو متعامد للمستوى المائل. لذا فإن محاور الإحداثيات النموذجية (محور رأسي واحد ومحور أفقي واحد) ليست مفيدة جدًا لهذه الأنواع من المشكلات. ولهذا السبب، بشكل عام، في المستويات المائلة، نعمل بنظام إحداثيات مختلف:

في الفيزياء، لحل مسألة المستوى المائل، نستخدم محورين مختلفين: المحور الأول الذي يكون اتجاهه موازيًا للمستوى المائل، ومن ناحية أخرى، المحور الثاني الذي يكون اتجاهه عموديًا على المستوى المائل.

أيضًا، كما ترون في الصورة، تؤثر ثلاث قوى مختلفة بشكل عام على المستوى المائل (إذا كان هناك احتكاك): قوة الوزن، والقوة العمودية، وقوة الاحتكاك (أو قوة الاحتكاك). لكن منطقياً، إذا لم يكن هناك احتكاك على المستوى المائل، فإن قوة الاحتكاك تُهمل.

ومع ذلك، فإن قوة الوزن تتحلل بشكل اتجاهي إلى مكونين: مكون موازي للمستوى المائل ومكون آخر عمودي على المستوى المائل. بهذه الطريقة يمكن التعبير عن جميع القوى في محاور عمل المستوى المائل. وبالتالي، يتم حساب مركبتي وزن الجسم المرتكز على المستوى المائل بواسطة جيب وجيب تمام زاوية الميل:

$P_1=m\cdot g\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_2=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)$

وأخيرًا، يمكن ربط القوى المؤثرة على مستوى مائل بالصيغتين التاليتين:

لاحظ أنه إذا لم ينص بيان المشكلة على خلاف ذلك، فإن الجسم الموجود على المستوى المائل يمكن أن ينزلق إلى أسفل المنحدر، ولهذا السبب يتم تضمين تسارع محتمل في معادلة المحور الموازي للمستوى. ومن ناحية أخرى، لا يستطيع الجسم أن يتحرك في اتجاه المحور العمودي على المستوى المائل، وبالتالي فإن مجموع القوى يساوي صفرًا.

مثال محلول على المستوى المائل

لكي تتمكن من رؤية كيفية حل مسائل المستوى المائل في الفيزياء، يمكنك الاطلاع على مثال تم حله خطوة بخطوة أدناه.

نضع جسمًا كتلته m=6 كجم على قمة مستوى يميل بزاوية 45 درجة. إذا انزلق الجسم على المستوى المائل بعجلة مقدارها 4 م/ث ² ، فما معامل الاحتكاك الديناميكي بين سطح المستوى المائل وسطح الجسم؟ البيانات: ز=10 م/ث ² .

مشكلة معامل الاحتكاك أو الاحتكاك الديناميكي

أول شيء يتعين علينا القيام به لحل أي مشكلة فيزيائية تتعلق بالديناميكيات هو رسم مخطط الجسم الحر. إذن جميع القوى المؤثرة في النظام هي:

حل تمرين معامل الاحتكاك أو الاحتكاك الديناميكي

في اتجاه المحور 1 (موازي للمستوى المائل) يكون للجسم تسارع، ولكن في اتجاه المحور 2 (عمودي على المستوى المائل) يكون الجسم في حالة سكون. ومن هذه المعلومات نؤسس معادلات قوى النظام:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$P_2-N=0$

لذا يمكننا حساب القوة العمودية من المعادلة الثانية:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=6 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(45º)\\[3ex]N=42,43 \ N\end{array}$

ومن ناحية أخرى نحسب قيمة قوة الاحتكاك (أو قوة الاحتكاك) من المعادلة الأولى المقدمة:

$\begin{array}{l}P_1-F_R=m\cdot a\\[3ex]F_R=P_1-m\cdot a\\[3ex]F_R=m\cdot g\cdot \text{sin} (\alpha)-m\cdot a\\[3ex]F_R=6\cdot 10\cdot \text{sin}(45º)-6\cdot 4\\[3ex]F_R=18.43 \ N\end{ array}$

وبمجرد أن نعرف قيمة القوة العمودية وقوة الاحتكاك، يمكننا تحديد معامل الاحتكاك الديناميكي باستخدام الصيغة المقابلة له:

$\mu_d=\cfrac{F_R}{N}=\cfrac{18.43}{43.43}=0.42$

تمارين محلولة على المستوى المائل

التمرين 1

نضع جسمًا كتلته m=2 كجم على قمة مستوى مائل بزاوية ميل مقدارها 30 درجة. ما معامل الاحتكاك بين المنحدر والجسم إذا ظل الأخير في حالة اتزان؟ البيانات: ز=9.81 م/ث ²

انظر الحل

كما هو الحال في أي مسألة فيزيائية تتضمن قوى، أول شيء يجب فعله هو رسم مخطط الجسم الحر للنظام. إذن جميع القوى المؤثرة في هذا النظام هي:

لكي يكون النظام في حالة توازن، يجب أن يكون مجموع القوى المؤثرة على المحورين 1 و 2 مساويًا للصفر. ولذلك فإن المعادلات التالية صحيحة:

$F_R=P_1$

$N=P_2$

يمكننا الآن حساب قيمة القوة العمودية من المعادلة الثانية:

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=P\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m \cdot g\cdot \text{cos }(\alpha)\\[3ex]N=2 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(30\text{º})\\[3ex]N=16,99 \ N\end{array}$

ومن ناحية أخرى نحدد قيمة قوة الاحتكاك باستخدام المعادلة الأولى:

$\begin{array}{l}F_R=P_1\\[3ex]N=P\cdot \text{sin}(\alpha)\\[3ex]F_R=m \cdot g\cdot \text{sin }(\alpha)\\[3ex]F_R=2 \cdot 9,81 \cdot \text{sin}(30\text{º})\\[3ex]F_R=9,81 \ N\end{array}$

وبالمثل، يمكن ربط قوة الاحتكاك بالقوة العمودية ومعامل الاحتكاك باستخدام الصيغة التالية:

$F_R=\mu \cdot N$

ولذلك نحل معامل الاحتكاك من المعادلة ونحسب قيمته:

$\mu=\cfrac{F_R}{N}$

$\mu=\cfrac{9,81}{16,99}$

$\bm{\mu=0.58}$

تمرين 2

كما نرى في النظام التالي المكون من مستوى مائل وبكرة، يرتبط جسمان بحبل وبكرة كتلتهما ضئيلة. إذا كانت كتلة الجسم 2 m ₂ = 7 كجم وميل المنحدر 50 درجة، فاحسب القوة العمودية التي يؤثر بها المستوى المائل على الجسم الذي كتلته m ₁ بحيث يكون النظام بأكمله في حالة توازن. إهمال قوة الاحتكاك طوال التمرين.

انظر الحل

يقع الجسم 1 على منحدر مائل، لذا فإن أول ما يجب فعله هو توجيه قوة وزنه للحصول على القوى المؤثرة على محاور المنحدر:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sin}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

وبالتالي فإن مجموعة القوى المؤثرة على النظام بأكمله هي:

يخبرنا بيان المشكلة أن نظام القوى في حالة توازن، لذا يجب أن يكون الجسمان في حالة توازن. ومن هذه المعلومات يمكننا اقتراح معادلات توازن الجسمين:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2[/latex ] Par conséquent, la composante vectorielle du poids du corps 1 incliné dans le sens de la pente doit être égale au poids de l'objet 2. [latex]P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sin}(\alpha)=P_2$

من المعادلة السابقة يمكننا حساب كتلة الجسم 1:

$m_1\cdot g \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sin}(\alpha) =m_2$

$m_1 \cdot \text{sin}(50\text{º}) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sin}(50\text{º})}$

$m_1=9,14 \ kg$

ومن ناحية أخرى، إذا نظرنا إلى مخطط قوة النظام، نلاحظ أن القوة العمودية يجب أن تكون مساوية للمركبة المتجهة لوزن الجسم 1 المتعامد مع المستوى المائل.

$P_{1y}=N$

$P_1\cdot \text{cos}(\alpha)=N$

ومن هذه المعادلة يمكننا إيجاد قيمة القوة العمودية:

$\begin{array}{l}N=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)\\[3ex]N=m_1 \cdot g\cdot \text{cos}(\alpha)\\[ 3ex]N=9,14 \cdot 9,81 \cdot \text{cos}(50\text{º})\\[3ex]N=\bm{57,63 \ N}\end{array}[/ latex] <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Un traîneau de 70 kg glisse sur une pente de 30º avec une vitesse initiale de 2 m/s. Si le coefficient de frottement dynamique entre le traîneau et la neige est de 0,2, calculez la vitesse que le traîneau acquerra après avoir parcouru 20 mètres. Données : g=10 m/s <sup>2</sup> . </p> <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#FFF8E1" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, nous réalisons le schéma corporel libre du traîneau : </p> <figure class="wp-block-image aligncenter size-full is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png" alt="exercice résolu de la force de frottement ou de frottement sur un plan incliné" class="wp-image-4345" width="305" height="355" srcset="https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline-258x300.png 258w, https://physigeek.com/wp-content/uploads/2023/09/exercice-resolu-plan-incline.png 706w" sizes="(max-width: 258px) 100vw, 258px"></figure> <p> Le traîneau a une accélération dans la direction de l’axe 1 (parallèle au plan incliné) mais reste au repos dans la direction de l’axe 2 (perpendiculaire au plan incliné), donc les équations des forces sont : [latex]P_1-F_R=m\cdot a” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”213″ width=”8731″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p class=$

$P_2-N=0$

ومن المعادلة الثانية يمكننا حساب القوة العمودية المؤثرة على المزلجة

$\begin{array}{l}N=P_2\\[3ex]N=m\cdot g\cdot \text{cos}(\alpha) \\[3ex] N=70 \cdot 10 \cdot \ text{cos}(30º)\\[3ex]N=606,22 \ N\end{array}$

وبما أننا نعرف الآن قيمة القوة العمودية ومعامل الاحتكاك الديناميكي، فيمكننا حساب قوة الاحتكاك بتطبيق الصيغة المقابلة لها:

$F_R=\mu\cdot N=0,2 \cdot 606,22=121,24 \ N$

لذا، لتحديد السرعة النهائية، يجب علينا أولاً إيجاد تسارع المزلجة، ويمكن حساب ذلك من معادلة القوة الأولى المقدمة:

$P_1-F_R=m\cdot a$

$a=\cfrac{P_1-F_R}{m}$

$a=\cfrac{m\cdot g\cdot \text{sin}(\alpha)-F_R}{m}$

$a=\cfrac{70\cdot 10\cdot \text{sin}(30º)-121.24}{70}$

$a=3,27 \ \cfrac{m}{s^2}$

بمجرد معرفة تسارع المزلجة، نحسب الزمن الذي تستغرقه لقطع مسافة 20 مترًا بمعادلة الحركة المستقيمة بتسارع ثابت:

$x=v_0\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

$20=2\cdot t +\cfrac{1}{2}\cdot 3.27 \cdot t^2$

$0=1,64t^2+2t-20$

$\displaystyle t=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1.64\cdot (-20)}}{2\cdot 1.64}=\cfrac{-2\ pm 11.63}{ 3.28}=\begin{cases}2.94\\[2ex]-4.15 \ \color{red}\bm{\times}\end{cases}$

منطقيا، نستبعد الحل السالب لأن الزمن كمية فيزيائية لا يمكن أن تكون سالبة.

وأخيرًا، نحسب السرعة النهائية باستخدام صيغة التسارع الثابت:

$a=\cfrac{v_f-v_0}{t_f-t_0}\quad \longrightarrow \quad v_f=a\cdot (t_f-t_0)+v_0$

$v_f=3.27\cdot (2.94-0)+2=\bm{11.61} \ \cfrac{\bm{m}}{\bm{s}}$